空間直角坐標(biāo)系
高二 年級(jí) 數(shù)學(xué) 科輔導(dǎo)講義（第 講）
學(xué)生姓名： 授課教師： 授課時(shí)間： 12.14
第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1.右手直角坐標(biāo)系
①右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指； ②已知點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y,z)作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）：
沿x軸正方向（x?0時(shí)）或負(fù)方向（x?0時(shí)）移動(dòng)|x|個(gè)單位，再沿y軸正方向（y?0時(shí)）或負(fù)方向（y?0時(shí)）移動(dòng)|y|個(gè)單位，最后沿x軸正方向（z?0時(shí)）或負(fù)方向（z?0時(shí)）移動(dòng)|z|個(gè)單位，即可作出點(diǎn)
③已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法：
過P作三個(gè)平面分別與x軸、y軸、z軸垂直于A,B,C，點(diǎn)A,B,C在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)分別是
a,b,c，則(a,b,c)就是點(diǎn)P的坐標(biāo)
2、在x軸上的點(diǎn)分別可以表示為(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，
在坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c); 3、點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,?b,?c) 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?a,b,?c)； 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?a,?b,c)； 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為(a,b,?c)； 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點(diǎn)為(a,?b,c)； 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)為(?a,b,c)；
點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(?a,?b,?c)。
4. 已知空間兩點(diǎn)P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5．空間兩點(diǎn)間的距離公式
已知空間兩點(diǎn)P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)， 則兩點(diǎn)的距離為|PQ|?
x1?x2y1?y2z1?z2
,,) 222
(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2 ，
x2?y2?z2;
特殊地,點(diǎn)A(x,y,z)到原點(diǎn)O的距離為|AO|?
6.以C(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球面方程為(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2 特殊地,以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面方程為x?y?z?r 第二部分 重難點(diǎn)突破
1．借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點(diǎn)的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系 問題1：點(diǎn)P(a,b,c)到y(tǒng)軸的距離為
[解析]借助長方體來思考，以點(diǎn)O,P為長方體對角線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(a,b,c)到y(tǒng)軸的距離為長方體一條面對角線的'長度，其值為a2?c2 2．將平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系
問題2：對于任意實(shí)數(shù)x,y,z
?
2222
[解析]
在空間直角坐標(biāo)系中，
?(x,y,z)到點(diǎn)
(0,0,0)的距離與到點(diǎn)(?1,2,1)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)(0,0,0)與點(diǎn)(?1,2,1)之間的線段長，
所以
3．利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類問題 (1)判斷兩條相交直線是否垂直 (2)判斷空間三點(diǎn)是否共線 (3)得到一些簡單的空間軌跡方程
第三部分 熱點(diǎn)考點(diǎn)題型 考點(diǎn)1: 空間直角坐標(biāo)系 題型1: 認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系
[例1]（1）在空間直角坐標(biāo)系中，y?a表示 （ ） A．y軸上的點(diǎn) B．過y軸的平面 C．垂直于y軸的平面 D．平行于y軸的直線 （2）在空間直角坐標(biāo)系中，方程y?x表示
A．在坐標(biāo)平面xOy中，1，3象限的平分線 B．平行于z軸的一條直線 C．經(jīng)過z軸的一個(gè)平面 D．平行于z軸的一個(gè)平面 題型2: 空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對稱問題
[例2 ] 點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)為P2，則P2的坐標(biāo)為【變式練習(xí)】
1．已知正四棱柱ABCD?A則C11B1C1D1的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0)，A1(0,0,5)，的坐標(biāo)為 。
2．平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為A(?1,1,3),B(3,2,?3)，對角線的交點(diǎn)為M(1,0,4)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 , 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
3．已知M(4,3,?1)，記M到x軸的距離為a，M到y(tǒng)軸的距離為b，M到z軸的距離為c，則（ ） A．a(chǎn)?b?c B．c?b?a C．c?a?b D．b?c?a 考點(diǎn)2：空間兩點(diǎn)間的距離公式
題型：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題
[例3 ] 如圖：已知點(diǎn)A(1,1,0)，對于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn)P，在Oy軸上是否存在一點(diǎn)B，使得
PA?AB恒成立？若存在，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。
【變式練習(xí)】
4．已知A(x,5?x,2x?1),B(1,x?2,2?x)，當(dāng)A,B兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，x的值為 （ ） A．19 B．?
8819 C． D． 7714
5．已知球面(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9，與點(diǎn)A(?3,2,5)，則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)A距離的最大值與最小值分別是 。
6．已知三點(diǎn)A(?1,1,2),B(1,2,?1),C(a,0,3)，是否存在實(shí)數(shù)a，使A、B、C共線？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。 鞏固練習(xí)
1．將空間直角坐標(biāo)系(右手系)畫在紙上時(shí)，我們通常將x軸與y軸，x軸與z軸所成的角畫成（ ） A．90
B．135 C．45 D．75
000
2. 點(diǎn)P(3,4,5)在yoz平面上的投影點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 （ ） A．(3,0,0) B．(0,4,5) C．(3,0,5) D． (3,4,0) 3. 三棱錐O?ABC中，O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱錐的體積為（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6 4．設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)，則|AB|等于( )
A．10 B． C． D．38
5．點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P1， P關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)為P2，則|P1P2|6．正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是
7．在直角坐標(biāo)系O—xyz中作出以下各點(diǎn)的P（1，1，1）、Q（-1，1，-1）。
8．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1之中點(diǎn)，且正方體棱長為1。請建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出正方體各頂點(diǎn)及E、F、G的坐標(biāo)。
9．求點(diǎn)A（1，2，-1）關(guān)于坐標(biāo)平面xoy及x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。
課后作業(yè)
1．空間直角坐標(biāo)系中，到坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz的距離分別為2，2，3的點(diǎn)有 A.1個(gè) B.2個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè)
2．三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,?2,11),B(4,2,3),C(6,?1,4)，則?ABC的形狀為（ ） A．正三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
3．已知空間直角坐標(biāo)系O?xyz中有一點(diǎn)A(?1,?空間直角坐標(biāo)系1,2)，點(diǎn)B是平面xOy內(nèi)的直線x?y?1上的動(dòng)點(diǎn)，則
A,B兩點(diǎn)的最短距離是（ ）
A．6 B．
C．3 D． 22
4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，4，5）關(guān)于yoz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A、（-3，4，5） B、（-3，-4，5） C、（3，-4，-5） D、（-3，4，-5） 5.在空間直角坐標(biāo)系中，P（2，3，4）、Q（-2，-3，-4）兩點(diǎn)的位置關(guān)系是（ ）
A、關(guān)于x軸對稱 B、關(guān)于yoz平面對稱 C、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D、以上都不對 6.點(diǎn)P(a,b,c)到坐標(biāo)平面xOy的距離是（ ）
A
、|a| C、|b| D、|c|
7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1
，過點(diǎn)P作yoz平面的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)是--------------------。
8.若點(diǎn)A(2,1,4)與點(diǎn)P(x,y,z)的距離為5，則x,y,z滿足的關(guān)系式是_______________.
9．如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，點(diǎn)P在正方體的對角
線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上。
（1）當(dāng)點(diǎn)P為對角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 探究PQ的最小值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在對角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)時(shí)， 探究PQ的最小值；
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