梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理
定理敘述
設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
注意：
最簡單的證明（張景中院士說過“做足夠多的三角形可以解任何幾何題”。等價說法是“做足夠多的垂線可以解任何幾何題”）
證明： 過ABC三點向三邊引垂線AA'BB'CC'，
AD：DB=AA'：BB'
BE：EC=BB'：CC'
CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
一 應(yīng)用梅涅勞斯定理
1.定理的條件已經(jīng)具備，正向或反向應(yīng)用定理。
例：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。 分析：目標(biāo)明確，寫出比例式就行了。
例:不等邊三角形的三條外角平分線與對邊延長線的交點共線。
例：
分析：直線若平行于BC，則命題顯然成立。若不平行，則作出直線與直線BC的交點是非常自然的。
例：
如圖在三角形三邊取相同比例的分點。中間黑色三角形面積等于白色面積，求邊上的分點比例。
分析：沒啥好分析的。
總結(jié)：用定理要選取三角形和截線。目標(biāo)中共線的三個點所在的'直線上，一般不會包含所選取的三角形的邊。
2.幾個不適合用梅氏定理的例子。
例：
如圖銳角x的兩條邊上取A,B兩點。甲乙二人分別從A,B出發(fā)沿箭頭方向前進。保持速度不變。證明兩人以及銳角頂點組成的三角形垂心在某直線上運動。 分析：本題具備定理的基本圖形，并且目標(biāo)是證明共線。但此處不可使用梅氏定理。因為垂心所在的定直線一般是不過銳角頂點的。那么我們?nèi)讉�時刻的垂心呢？兩個就夠了。只要證明這兩個垂心連線的斜率只與兩人的速度比有關(guān)……
總結(jié)：用數(shù)學(xué)定理要看定理中的條件部分，估計計算復(fù)雜程度。比如逆定理條件是共線，不共線則不可使用逆定理。
例：
兩個線段上的點列如圖連線得到交點。證明三個交點共線。用梅氏定理的證明見初三仁華課本。這里繞個路證明此題。首先，下面這個事實有用。
x,y,z,w等8個數(shù)看作所在點橫坐標(biāo)。（用了定比分點）
此時中間兩個線段分點比例可由a,b,c,d,p,q,m,n給出。請自行練習(xí)
x,y,z,w等8個數(shù)看作所在點縱坐標(biāo)，此時中間兩個線段分點比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n給出，且與上面結(jié)果相同。這表明圖中里邊的線段分點比例只與外圍分點比例有關(guān)，與外圍線段長度，夾角無關(guān)。
等價的，引理：如圖三點共線。則保持圖中線段分點比例不變，旋轉(zhuǎn)，平移，均勻伸縮粉色線段，會使三個黑點仍然http://www.lotusphilosophies.com/news/55A54887FD48C7B6.html共線。
看原題中的圖，兩條直線交于O,根據(jù)梅氏定理，G,H,I分所在線段比例由OA:AB:BC
OD:DE:EF確定。只要保持這兩個連比不變，G,H,I分所在線段比例不變。根據(jù)引理，G,H,I分所在線段比例不變情況下證明了三點共線，則間接證明了原題。所以，令角AOD為直角，O為坐標(biāo)原點。下略。
總結(jié)：不應(yīng)刻意追求代數(shù)流或純幾何，自然為上。
3 比較該定理和賽瓦定理
聯(lián)系：基本圖形接近。我們試圖用下圖統(tǒng)一兩個定理。
三角形ADO，截線BC,有梅氏定理。
三角形ADC, 截線OB，有梅氏定理。
三角形ABC, 點O,有塞瓦定理等等 這個圖的補注：
代數(shù)方法解幾何題綜合考慮兩點：1 用盡量少的未知數(shù)標(biāo)識圖形。2為了保持對稱性和形式的簡潔，可以適當(dāng)增加未知數(shù)。這個圖形可以用五個未知數(shù)表示。三角形三邊，以及am,ak。
我們用了9個，現(xiàn)在找一下多出來的4個。首先。x,y,z可以用其它6個字母表示，這樣找到多出來的3個。外圍我們用a/b b/c c/a表示乘積為1的三個正數(shù)，其實可以只用兩個字母。a，b ，1/ab 。為了簡潔和對稱，多用了一個。
區(qū)別 ：描述的數(shù)學(xué)事實不同。三點共線和三線共點。
二 廣義的梅涅勞斯定理
D,E,F三點共線，三角形DEF面積為零。下面這個定理說的是三角形DEF面積不為零的情況。（李建泉）
建議從兩個層次理解定理
1 定性。三角形三邊上取分點，則分點確定的三角形面積與原三角形面積比由三個分點比值唯一確定。
2 定量。也就是定理中的結(jié)論部分。
2010-9-29
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