選修2-2微積分基本定理習題及答案

選修2-2微積分基本定理習題及答案

一、選擇題

1．(2010·山東日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是

?0

?0?0

( )

A．a(chǎn)

1

[解析] a＝?2xdx＝2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1

2???

B．a(chǎn)

－cos2∈(1,2)，

∴c

2．(2010·山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為( ) 1

12[答案] A

?y＝x2?

[解析] 由?3得交點為(0,0)，(1,1)． ?y＝x?

1

B. 4

1 3

7D. 12

1314??11

∴S＝?1(x2－x3)dx＝??3x－4x??0＝12. ?

[點評] 圖形是由兩條曲線圍成的時，其面積是上方曲線對應函數(shù)表達式減去下方曲線對應函數(shù)表達式的積分，請再做下題：

(2010·湖南師大附中)設點P在曲線y＝x2上從原點到A(2,4)移動，如果把由直線OP，直線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當S1＝S2時，點P的坐標是( )

416?A.??39? 415?C.??37? [答案] A

t3

[解析] 設P(t，t)(0≤t≤2)，則直線OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝S2＝?2(x2－

6??

2

t

2

t

416B.??59 413D.??57

4168t34

tx)dx＝－2t，若S1＝S2，則t＝P??3，9. 363

3．由三條直線x＝0、x＝2、y＝0和曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為( ) A．4

4

B. 3

18

5

D．

6

[答案] A

x4?2

[解析] S＝?xdx＝4?0＝4.

?

230

4．(2010·湖南省考試院調(diào)研)?1－1(sinx＋1)dx的值為( )

?

A．0

B．2 D．2－2cos1

C．2＋2cos1 [答案] B

[解析] ?1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.

?5．曲線y＝cosx(0≤x≤2π)與直線y＝1所圍成的圖形面積是( ) A．2π 3π

2[答案] A [解析] 如右圖， S＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x－sinx)|02π＝2π.

[點評] 此題可利用余弦函數(shù)的對稱性①②③④面積相等解決，但若把積分區(qū)間改為

B．3π D．π

?ππ?，則對稱性就無能為力了． ?6?

6．函數(shù)F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( )

?0

A．有最大值0，無最小值 32

B．有最大值0和最小值－

332

C．有最小值－，無最大值

3D．既無最大值也無最小值 [答案] B

[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225

∵F(－1)＝－，F(xiàn)(0)＝0，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5)＝－.

33332

∴最大值為0，最小值為－.

3

[點評] 一般地，F(xiàn)(x)＝?xφ(t)dt的導數(shù)F′(x)＝φ(x)．

?0

1

7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n，函數(shù)f(x)＝?xdt，若f(x)

的取

?t

1

值范圍是( )

A.?

3? ?6?

－11

B．(0，e21) D．(0，e11)

C．(e，e)

[答案] D

1

[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx

?t

1

8．(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形

OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是( )

1 π

2B. π

3 π

πD. 4

[答案] A

[解析] 由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積．由題意得S＝?π

?0

sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率P＝212ππ

SS矩形OABC

x＋2?－2≤x

9．(2010·吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝?的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為π

2cosx?0≤x≤??2?( )

3

2

B．1

C．4

1D. 2

[答案] C

ππ

[解析] 面積S＝2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.

22?

10．(2010·沈陽二十中)設函數(shù)f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.2]x

＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函數(shù)g(x)＝－，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點的個數(shù)記為m，f(x)與g(x)

3的圖象交點的個數(shù)記為n，則?ng(x)dx的值是( )

?m

5A．－

2

4B．－

3

5C．－

4[答案] A

7D．－

6

[解析] 由題意可得，當0

－dx＝－?14＝－. 所以m＝1，n＝4，則?g(x)dx＝??6?2?m?1?3n

4

2

11．(2010·江蘇鹽城調(diào)研)甲、乙兩人進行一項游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間[0,1]上隨機等可能地抽取一個實數(shù)記為b，乙從區(qū)間[0,1]上隨機等可能地抽取一個實數(shù)記為c(b、c可以相等)，若關(guān)于x的方程x2＋2bx＋c＝0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場比賽中甲獲勝的概率為( )

1

3

2B. 3

1 2

3D. 4

[答案] A

[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有實根的充要條件為Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c， 由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為pbdb??11×1

12

＝.

3

12．(2010·吉林省調(diào)研)已知正方形四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個質(zhì)點隨機地投入正方形中，則質(zhì)點落在區(qū)域M內(nèi)的概率是( )

1 21 3

1 425

[答案] C

[解析] 如圖，正方形面積1，區(qū)域M的面積為S＝?1x2dx

?0

111＝3|01＝，故所求概率p＝. 333

二、填空題

13．(2010·蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝

?

________.

1[答案] －1或

3

[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，

???

∴6a2＋4a＋2＝4，

1

∴a＝－1或.

3

π1

14．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，則二項式(a－)6的展開式中含x2項的系數(shù)是

2x________．

[答案] －192

ππππ

[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)

2222＝2，

(2x－

16－－

)的展開式中第r＋1項是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26r×x3r，令3－r＝2得，r＝1，故其系數(shù)為(－1)1×C61×25＝－192.

15．拋物線y2＝2x與直線y＝4－x圍成的平面圖形的面積為________． [答案] 18

2??y＝2xy2

[解析] 由方程組?解得兩交點A(2,2)、B(8，－4)，選y作為積分變量x＝、

2?y＝4－x?

x＝4－y

∴S＝?

?

2－4[(4－y)－

y2y2y32

＝(4y－－

4＝18. 226

4

16．(2010·安徽合肥質(zhì)檢)拋物線y2＝ax(a>0)與直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為3若直線l與拋物線相切且平行于直線2x－y＋6＝0，則l的方程為______．

[答案] 16x－8y＋1＝0

2

[解析] 由題意知?1axdxa＝1，

3?

設l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1

由Δ＝0得，b

8∴l(xiāng)方程為16x－8y＋1＝0.

17．(2010·福建福州市)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x1

軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為

12________．

[答案] －1

[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a

11

S陰影＝－?0(－x3＋ax2)dx4＝，∴a＝－1.

1212?

a

三、解答題

18．如圖所示，在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中陰影部分的面積S1＋S2最�。�

2

[解析] 由題意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，

3?

S2?

dx－t2(1－t)＝2t3－t21

2＝?1xt

3＋3，

所以S＝SS41

1＋2＝3t3－t2＋3≤t≤1)．

又S′(t)＝4t2－2t＝4t??t1

2， 令S′(t)＝0，得t1

2

t＝0.

因為當0

2

0.

所以S(t)在區(qū)間??0，12上單調(diào)遞減，在區(qū)間1

21??上單調(diào)遞增．所以，當t＝11

2Smin＝4

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