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§1-3無(wú)窮小量和無(wú)窮大量
§1-3 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量
牛頓-萊布尼茨的微積分中說(shuō)的“無(wú)窮小數(shù)”
同我們現(xiàn)在說(shuō)的“無(wú)窮小量”是不同的。當(dāng)時(shí)說(shuō)的由于理論基礎(chǔ)上的缺陷, 所以當(dāng)時(shí)就陷入了沒(méi)有結(jié)果的爭(zhēng)論之中。這也是當(dāng)時(shí)像羅爾（Rolle,M. 1652--1719）這樣的一些數(shù)學(xué)家們不接受微積分的原因之一。近代微積分的奠基人柯西從嚴(yán)處理了微積分的基本概念, 并把“無(wú)窮小量”說(shuō)成是極限為，即稱變量y為無(wú)窮小量，若它在無(wú)限變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)．．．0的變量．．．
刻，在這個(gè)時(shí)刻以后，能夠使絕對(duì)值
y小于預(yù)先給出的任何正數(shù)。例如，
數(shù)列
1,n?
?)和當(dāng)x?0時(shí)的函數(shù)xn,nsinx,tanx等
都是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量在微積分中起的作用相當(dāng)于常量數(shù)學(xué)中的“零”�？墒牵皇浅Ａ縖?(x)?0是一個(gè)特例]，所以又不同于“零”。在某個(gè)極限過(guò)程（n??或x??）中的無(wú)窮小量就簡(jiǎn)記成o(1)[讀作“小歐”，不能讀作零]。小歐“o”是牛頓當(dāng)初用過(guò)的記號(hào).
定理1-1 limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).
x??
(充分必要條件)
特別，
函數(shù)f(x)在點(diǎn)c連續(xù)??f(x)?f(c)?o(1)(x?c) （※）
證 若limf(x)?C，則lim[f(x)?C]?0，即
x??
x??
f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)
反之，若f(x)?C?o(1)(x??)，則
limf(x)?lim?C?o(1)??C?0?C
x??
x??
特別，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)c連續(xù)時(shí)，因?yàn)閘imf(x)?f(c)，所以有結(jié)論(※).例如，當(dāng)x?c
x?c
時(shí)，
xn?cn?o(1)， sinx?sinc?o(1)， cosx?cosc?o(1)
1.無(wú)窮小量的運(yùn)算規(guī)則 利用極限的運(yùn)算規(guī)則，容易證明無(wú)窮小量的下述運(yùn)算規(guī)則：若o(1)是某一個(gè)極限過(guò)程(n??或x??)中的無(wú)窮小量，根據(jù)極限的運(yùn)算規(guī)則，則有 ⑴ O?o(1)
o(1)[其中O是有界變量（*），特別它可以是常數(shù)]；
⑵ o(1)?o(1)?o(1)，o(1)?o(1)?o(1). 它們與常量的運(yùn)算規(guī)則是不同的！ ．．．．．．．．．．．．．．
2.無(wú)窮小量的比較 在某一個(gè)極限過(guò)程中，把某一個(gè)不取0值的無(wú)窮小量?看作“基本無(wú)窮小量”，而把另一個(gè)無(wú)窮小量?與基本無(wú)窮小量?相比較.若有極限
lim
?
?l(0?|l|???) ?
（*）
記號(hào)O讀作“大歐”，也不能讀作“零”。
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§1-3 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量
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則在這個(gè)極限過(guò)程中，
⑴當(dāng)l?0時(shí)，稱?與?.特別，當(dāng)l?1時(shí)，稱?與?記成???或???.例如sinx?x(x?0)，tanx?x(x?0)，因?yàn)?/p>
sinxtanx
?1,lim?1
x?0xx?0x
⑵當(dāng)l?0時(shí)，?與?相比較，稱?為高階無(wú)窮小量，并記成??o(?).例如，當(dāng)x?0時(shí)，
lim
x?o(x),x2?o(x).
?lim例8
x?1x?1
?1?x?1
1?x?1
??
x?1
注意，其中當(dāng)x?
1時(shí)，??定理1-2 設(shè)?和??0在某一個(gè)極限過(guò)程中是等價(jià)無(wú)窮小量，則在這個(gè)極限過(guò)程中，
lim(???)?lim(???)（等價(jià)無(wú)窮小量替換）
[和或差的極限lim(???)不能用等價(jià)無(wú)窮小量替換！]
證 lim??????lim?
??
?1?lim??????lim?????. ??????????
x2x2
?,sinx2?x2，所以 例如，當(dāng)x?0時(shí)，因?yàn)閟in22
2
x??x222sin?2?1?cosx2???1 lim2?lim?lim
x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2?x22
2
2
再如，當(dāng)x?
1時(shí)，因?yàn)?/p>
8就可以簡(jiǎn)單地做成
x?1
?x??x?1
??x?1定理1-3 若??0在某一個(gè)極限過(guò)程中是基本無(wú)窮小量，則在這個(gè)極限過(guò)程中，有高階無(wú)窮小量的運(yùn)算規(guī)則:
⑴ O?o(?)?o(?)（O為有界變量，特別可以是常數(shù)）; ⑵ o(1)???o(?)，其中o(1)是無(wú)窮小量; ⑶ o(?)?o(?)?o(?)；o(?)?o(?)?o(?). 證明是簡(jiǎn)單的，譬如證⑶.根據(jù)極限的運(yùn)算規(guī)則，因?yàn)?/p>
2
lim
o(?)?o(?)
?
?lim
o(?)
?
?lim
o(?)
?
?0?0?0
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所以；而因?yàn)?/p>
lim
所以o(?)?o(?)?o(?2).
o(?)?o(?)
?2
?o(?)o(?)??lim???0?0?0
?????
定理1- 4 若?和??0都是同一個(gè)極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，則在這個(gè)極限過(guò)程中，
?????????o(?) [兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小量相差一個(gè)高階無(wú)窮小量]
證 (?)因?yàn)閘im
??
?1，根據(jù)定理1-1，?1?o(1)，所以????o(1)????o(?). ??
???o(?)?lim?1?0?1，所以???. ??
例如，因?yàn)閟inx?x(x?0)，所以可把它等價(jià)地寫成sinx?x?o(x)(x?0)；同理，tanx?x?o(x)(x?0).
(?)因?yàn)閘im
3.無(wú)窮大量(無(wú)窮極限) 稱一個(gè)變量yy在無(wú)限變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在這個(gè)時(shí)刻以后，能夠使絕對(duì)值y大于預(yù)先給出的任何正數(shù)，簡(jiǎn)記成“y??”. 特別，若能夠使y大于預(yù)先給出的任何正數(shù)，則稱變量y為正無(wú)窮大量，簡(jiǎn)記成“y???”；若能夠使y小于預(yù)先給出的任何負(fù)數(shù)，則稱變量y為負(fù)無(wú)窮大量，簡(jiǎn)記成“y???”.
“無(wú)窮大量”與“無(wú)窮小量”是兩個(gè)對(duì)偶的概念，因此有下面對(duì)偶的結(jié)論.設(shè)變量y在某一個(gè)極限過(guò)程中不取數(shù)值0.
若變量y是無(wú)窮大量，則倒數(shù)是無(wú)窮大量.
具體到函數(shù)y?f(x)，當(dāng)自變量x在某個(gè)極限過(guò)程x??中，若函數(shù)f(x)是無(wú)窮大量或正無(wú)窮大量或負(fù)無(wú)窮大量，就依次記成
就是無(wú)窮小量；反之，若變量y是無(wú)窮小量，則倒數(shù)就yy
limf(x)??,
x??
limf(x)???,
x??
limf(x)???
x??
請(qǐng)讀者注意，這些都是記號(hào)，有時(shí)口語(yǔ)上也說(shuō)“極限是無(wú)窮大”，但它們沒(méi)有前面說(shuō)的那種有窮極．．．．．
限的含義和運(yùn)算規(guī)則！
a0?a1x???anxn
例9 求lim(an?0,bm?0).
x??b?bx???bxm
01m
解 當(dāng)n?m時(shí)，分子分母同除以xn?xm，則有
a0a1an?1
?????annn?1a0?a1x???anx lim?lim
x??b?bx???bxmx??b0bb01m?m1?1???m?1?bm
mxxx
n
50
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an?1a1?a?
lim?0?????an?ax??xnxn?1x???n
?
bm?1b1?b?bm
lim?0?????bm?x??xmxm?1x??
當(dāng)n?m時(shí)，分子分母同除以xm，則
a0a1an?1an
?????nmm?1m?n?1m?na0?a1x???anx lim?lim
x??b?bx???bxmx??001m?m1?1???m?1?bm
mxxx
a?1an?a?a0
lim?m?m1?1???mn??x??xxx?n?1xm?n?0???0 ?
bm?1b1bm?b0?
lim?m?m?1????bm?x??xxx??
b0?b1x???bmxm
當(dāng)n?m時(shí)，因?yàn)閘im?0，所以(倒數(shù)的極限)
x??a?ax???axn
01n
a0?a1x???anxn
lim?? x??b?bx???bxm
01m
根據(jù)提示做習(xí)題
1.求下面的極限（或者用例9的結(jié)果直接寫出答案，或者像例9那樣重新計(jì)算）：
4x3?3x2?2x?1? ⑴ lim
x??5x3?7x2?10
3x2?2x?1
? ⑵ lim3
x??4x?3x2?10
6x5?5x3?x?1
? ⑶ lim
x??7x2?8x?9
答案：⑴
4
；⑵0；⑶?. 5
3x?52?3x2?52?2.limsin?????lim???? x??5x?3x??x?5x?3x?
答案：
3.設(shè)函數(shù)
2
?22?
?sin???xx?
6. 5
1?2
3sinx?xcos?,x?0
f(x)??
?(1?cosx)tanx
x?0?a,
問(wèn)a為何值時(shí)，f(x)在點(diǎn)0連續(xù)？
51
1
(tanx?x)????? 提示 f(0)?limf(x)?lim
x?0x?0(1?cosx)tanx
3sinx?x2cos
答案：a?
3
. 2
52
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