幾何證明選講試題

幾何證明選講試題

知識(shí)聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來(lái)考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點(diǎn)，

那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡(jiǎn)單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線的交點(diǎn)了，這個(gè)問(wèn)題一旦解決，第一問(wèn)的圓心問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。我們看半徑的求解方法。

(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，方程 的兩根為 ， .

故 ， .

取 的中點(diǎn) ， 的中點(diǎn) ，分別過(guò) 作 的垂線，兩垂線相交于 點(diǎn)，

連接 .因?yàn)?， ， ， 四點(diǎn)共圓，所以 ， ， ， 四點(diǎn)所在圓的圓心為 ，半徑為 .

由于 ，故 ， .

， .所以 .、

該解法是在做出圓心的基礎(chǔ)上求半徑的，考查高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)垂直平分線的問(wèn)題，很有新意。那么該問(wèn)還有沒(méi)有其他的解法?有，請(qǐng)看······

解決策略二：解該題的第一個(gè)方法用到數(shù)學(xué)中基本方法和基本運(yùn)算，但有點(diǎn)繁瑣，思路也不太好打開(kāi)，有沒(méi)有不用做出圓心直接求半徑的方法？有！

知識(shí)聯(lián)系：(1)四邊形BCDE的外接圓是不是連接四邊形中任意三點(diǎn)的三角形的外接圓?答案是肯定的!

(2)三角形的外接圓半徑與解三角形中的哪個(gè)定理聯(lián)系很緊密?

——正弦定理

正弦定理的表達(dá)形式： = = =2R,其中這里邊的R，就是三角形的外接圓半徑。那么，我們只要找到三角形的一邊長(zhǎng)和該邊所對(duì)的角，就能將半徑求出，而不需做出圓心。

解題過(guò)程：在△ABC中，連接DE、CD,根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .

則DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = =

所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .

這種解題方法的掌握，是在有了扎實(shí)的基本功基礎(chǔ)上的巧妙聯(lián)想和合理推測(cè)證明，有利于學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建和基礎(chǔ)知識(shí)的提升。

解決策略三：利用△ABC為直角三角形這個(gè)有利條件，聯(lián)想到解析幾何中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，建立二維x-o-y坐標(biāo)系，利用解析幾何的手段解決！

知識(shí)聯(lián)系：圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

Y

X

解題過(guò)程：在Rt△ABC中，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，建立直角坐標(biāo)系x-o-y系

根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .

則C(0,6), E(0,4), D(2,0), B(12,0)

設(shè)圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

將C、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)帶入，得

36+6E+F=0 D=-14

16+4E+F=0 E=-10

4+2D+F=0 F=24

轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-7)2+(y-5)2=50從而得到半徑是5 .

事實(shí)上，這個(gè)方法本身不難，但難就難在如何從幾何證明選講中迅速進(jìn)行知識(shí)遷移，轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題，而這里的轉(zhuǎn)移，恰恰是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

統(tǒng)觀這些解題方法，從本質(zhì)上來(lái)看都是組成高中數(shù)學(xué)知識(shí)框架的重要部分，并且都要求掌握，所以要求我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中夯實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中還要將知識(shí)進(jìn)行整理，讓知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，別且要發(fā)揮我們想像的翅膀，做到深思熟慮，大膽聯(lián)想，合理推測(cè)，正確證明，這樣才能做到對(duì)知識(shí)的整體把握，才能舉一反三，這樣學(xué)起數(shù)學(xué)來(lái)就易如反掌了!

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