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勾股定理的無字證明

時(shí)間:2023-04-29 20:40:22 證明范文 我要投稿
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勾股定理的無字證明

勾股定理的無字證明

學(xué)習(xí)勾股定理時(shí),我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(1)驗(yàn)證它的正確性;圖中大正方形的面積可表示為 ,也可表示為 ,即 由此推出勾股定理 ,這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法,簡稱“無字證明”。

勾股定理的無字證明

(1)請你用圖(2)(2002年國際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)。

(2)請你用(3)提供的圖形進(jìn)行組合,用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證 :

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(3)請你自己設(shè)計(jì)圖形的組合,用其面積表達(dá)式驗(yàn)證:

(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

2這個(gè)定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如:正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理,但是,因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ,所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。

利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明

有許多勾股定理的證明方式,都是基于相似三角形中兩邊長的比例。

設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C(看附圖). 從點(diǎn)C畫上三角形的高,并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因?yàn)樵趦蓚(gè)三角形中都有一個(gè)直角(這又是由于“高”的定義),而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角,由此可知第三只角都是相等的。同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系:

因?yàn)锽C=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH

綜合這兩個(gè)方程式,我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

換句話說:a*a+b*b=c*c

[*]----為乘號

歐幾里得的證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。 設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對邊,使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在正式的證明中,我們需要四個(gè)輔助定理如下:

如果兩個(gè)三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS定理) 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長的乘積。 任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長的乘積(據(jù)輔助定理3)。 證明的概念為:把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形,再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長方形。

其證明如下:

設(shè)△ABC為一直角三角形,其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。 分別連接CF、AD,形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是線性對應(yīng)的,同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因?yàn)?AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC,所以△ABD 必須相等于△FBC。 因?yàn)?A 與 K 和 L是線性對應(yīng)的,所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD。 因?yàn)镃、A和G有共同線性,所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB。 同理可證,四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC。 把這兩個(gè)結(jié)果相加, AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個(gè)正方形,因此AB + AC = C。 此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的

其余見: 勾股定理的美妙證明 [梁卷明網(wǎng)站: 梁卷明

2009年3月24日晚,我參加了廣西教研網(wǎng)的主題研討活動(dòng)之后,對勾股定理的證明作了進(jìn)一步的研究,2009年3月28日下午我終于發(fā)現(xiàn)了一個(gè)美妙的證明:

勾股定理:如圖,直角三角形ABC中:AC+BC=AB.

證明:如圖1,分別以AC、CB、BA為邊長作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR,則易知⊿ABC≌⊿RBS,從而點(diǎn)Q必在SR上,又把梯形ABNM沿BR方向平移,使點(diǎn)B與點(diǎn)R重合,則梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;顯然⊿RSB≌⊿PTA, 如圖2,再把⊿RSB沿BA方向平移,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,則⊿RSB必與⊿PTA重合!

故有:正方形ACNM的面積+正方形CBSQ的面積=正方形BAPR的面積,即得:AC+BC=AB.

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