證明公理3的推論3

公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。

證明：

設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，

顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，

根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面 ，設(shè)為平面β;

假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，

在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，

所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，

此時(shí)，AB和AE都與CD平行，

與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾,

所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，

即α和β是同一個(gè)平面，

即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

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公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。

證明：

設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，

顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，

根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面 ，設(shè)為平面β;

假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，

在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，

所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，

此時(shí)，AB和AE都與CD平行，

與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾,

所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，

即α和β是同一個(gè)平面，

即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

3

兩點(diǎn)定一條直線

三點(diǎn)(不直線)定一個(gè)平面

兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個(gè)點(diǎn)

另一條中找隨便一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在第一條直線外

所以不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面

4

存在性：

在每一條直線上都任意取一點(diǎn)(不是交點(diǎn)),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有一個(gè)平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)平面(公理3)。

綜上所述，兩條相交的直線確定一個(gè)平面。

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