- 相關(guān)推薦
幾何法證明不等式
幾何法證明不等式用解析法證明不等式：
[(a+b)/2]^2<(a^2+b^2)/2
(a,b∈R，且a≠b)
設(shè)一個(gè)正方形的邊為C,有4個(gè)直角三角形拼成這個(gè)正方形,設(shè)三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B, (B>A) A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時(shí),側(cè)中間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡(jiǎn)有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因?yàn)?A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因?yàn)锳不等與B,所以不取等號(hào)
可以在直角三角形內(nèi)解決該問(wèn)題
=[(a+b)/2]^2-(a^2+b^2)/2
=<2ab-(a^2+b^2)>/4
=-(a-b)^2/4
<0
能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。
比如證明 SIN x不大于x (x范圍是0到 兀/2，閉區(qū)間)
做出一個(gè)單位圓，
以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為角的一條邊
任取第一象限一個(gè)角x，
它所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)就是1*x=x
那個(gè)角另一條邊與圓有一個(gè)交點(diǎn)
交點(diǎn)到x軸的距離就是 SIN x
因?yàn)辄c(diǎn)到直線，垂線段長(zhǎng)度最小，
所以SIN x 小于等于 x，當(dāng)且盡當(dāng)x=0時(shí)，取等
已經(jīng)有的方法：第一數(shù)學(xué)歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過(guò)渡到n);重復(fù)遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;
能給出其他方法的就給分
(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)
一個(gè)是算術(shù)，一個(gè)是幾何。人類認(rèn)認(rèn)識(shí)算術(shù)才有幾何，人類吃飽了就去研究細(xì)微的東西，所以明顯有后者小于前者的結(jié)論，這么簡(jiǎn)單都不懂，叼佬就是叼佬^_^
搞笑歸搞笑，我覺(jué)得可以這樣做，題目結(jié)論相當(dāng)于證
(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0
我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時(shí)n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個(gè)n元函數(shù)，它是沒(méi)有最大值的(這個(gè)顯然)
我們考慮各元偏導(dǎo)都等于0，得到方程組，然后解出
a1=a2=……=an
再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。
要的是數(shù)學(xué)法證明也就是代數(shù)法 不是用向量等幾何法證明.....有沒(méi)有哪位狠人幫我解決下
【柯西不等式的證明】 二維形式的證明
(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
≥(ac+bd)^2，等號(hào)在且僅在ad-bc=0即ad=bc時(shí)成立。
一般形式的證明
求證：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
證明：
當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立
令A(yù)=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2
當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A>0
構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開(kāi)得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，
移項(xiàng)得AC≥B，欲證不等式已得證。
【幾何法證明不等式】相關(guān)文章：
不等式證明11-24
幾何證明題04-29
一個(gè)幾何不等式的推廣05-02
不等式的證明因1而精彩04-30
初中幾何證明題的入門的論文04-27
構(gòu)造函數(shù)證明平面幾何問(wèn)題05-01
淺談極坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用04-29
分離參數(shù)法在不等式和方程中的應(yīng)用05-03
空間向量法解立體幾何的補(bǔ)充和傳授04-30