中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

[例1] 高爾頓釘板試驗(yàn).

圖中每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.

如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來(lái)越大時(shí)接近程度越好.由于時(shí),.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個(gè)證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.

二、中心極限定理

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對(duì)于任意的,成立

稱服從中心極限定理.

[例2] 設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.

解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

[例3] 用頻率估計(jì)概率時(shí)的誤差估計(jì).

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,

由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.

第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時(shí)利用求出最小的.

第三類問題是已知,求.

解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì): .

[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.

[例5] 已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:

的隨機(jī)變量.求.

解:

因?yàn)楹艽?于是

所以

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.

[例6] 某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個(gè)分機(jī)有0.04的時(shí)間要用外線通話,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.

解:以表示第個(gè)分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.

如果260架電話分機(jī)同時(shí)要求使用外線的分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.

[例7] 根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.

解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè),則有

證明:設(shè)的特征函數(shù)為,則

的特征函數(shù)為

又因?yàn)?所以

于是特征函數(shù)的展開式

從而對(duì)任意固定的,有

而是分布的特征函數(shù).因此,

成立.

[例8] 在數(shù)值計(jì)算時(shí),數(shù)用一定位的小數(shù)來(lái)近似,誤差.設(shè)是用四舍五入法得到的小數(shù)點(diǎn)后五位的數(shù),這時(shí)相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.

設(shè)有個(gè)數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,

以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

[例9] 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.

證明:為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,所以仍是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.

作業(yè):

P222 EX 32,33,34,35

五、林德貝爾格條件

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又

令,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨(dú)立隨機(jī)變量和

的分布

當(dāng)時(shí),是否會(huì)收斂于分布?

[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.這時(shí)就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會(huì)是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應(yīng)該對(duì)隨機(jī)變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項(xiàng)是起突出作用.由此認(rèn)為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項(xiàng)中不應(yīng)該有這種起突出作用的加項(xiàng).因?yàn)榭紤]加項(xiàng)個(gè)數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又,,這時(shí)

(1)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為,如果對(duì)任意的,有

(2)若是離散型隨機(jī)變量,的分布列為

如果對(duì)于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.

[例11] 以連續(xù)型情形為例,驗(yàn)證:林德貝爾格條件保證每個(gè)加項(xiàng)是“均勻地斜.

證明: 令,則

于是

從而對(duì)任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個(gè)關(guān)系式表明, 的每一個(gè)加項(xiàng)中最大的項(xiàng)大于的概率要小于零,這就意味著所有加項(xiàng)是“均勻地斜.

六、費(fèi)勒條件

設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又,,稱條件為費(fèi)勒條件.

林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費(fèi)勒指出若費(fèi)勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.

七、林德貝爾格-費(fèi)勒中心極限定理

引理1 對(duì)及任意的,

證明:記,設(shè),由于

因此, ,其次,對(duì),

用歸納法即得.

由于,因此,對(duì)也成立.

引理2 對(duì)于任意滿足及的復(fù)數(shù),有

證明:顯然

因此,

由歸納法可證結(jié)論成立.

引理3 若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地

證明 定義隨機(jī)變量

其中相互獨(dú)立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸 獨(dú)立,不難驗(yàn)證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知 成立.

林德貝爾格-費(fèi)勒定理

定理 設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又 .令 ,則

(1)

與費(fèi)勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.

證明:(1)準(zhǔn)備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么 (5)

這時(shí)

因此林德貝爾格條件化為:對(duì)任意,

(6)

現(xiàn)在開始證明定理.設(shè)是任意固定的實(shí)數(shù).

為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費(fèi)勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價(jià)的:

(8)

事實(shí)上,由(3)知,又因?yàn)?/p>

故對(duì)一切,

把在原點(diǎn)附近展開,得到

因若費(fèi)勒條件成立,則對(duì)任意的,只要充分大,均有

(9)

這時(shí)

(10)

對(duì)任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因?yàn)榭梢匀我庑?故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價(jià)性.

(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費(fèi)勒條件.事實(shí)上,

(13)

右邊與無(wú)關(guān),而且可選得任意小;對(duì)選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當(dāng)足夠大時(shí),也可以任意地小,這樣,費(fèi)勒條件成立.

其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

因此

(14)

對(duì)任給的,由于的任意性,可選得使,對(duì)選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費(fèi)勒條件成立,這時(shí)(8)與(7)是等價(jià)的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費(fèi)勒條件成立時(shí),這又推出了(8),因此,

(15)

上述被積函數(shù)的實(shí)部非負(fù),故

而且

(16)

因?yàn)閷?duì)任意的,可找到,使,這時(shí)由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.

八、李雅普諾夫定理

設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,若存在,使有

則對(duì)于任意的,有

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