對2017年的向量高考真題進(jìn)行簡要分析，我們就會發(fā)現(xiàn)其中以考查平面向量的線性運(yùn)算、模、夾角、垂直與平行、基底、數(shù)量積這些基礎(chǔ)知識的居多，大約有十多個(gè)省市把對向量內(nèi)容的考查作為高考試卷上的低中檔題.而從知識交匯點(diǎn)考查思維能力和創(chuàng)新意識的試題有天津卷、陜西卷、湖南卷和安徽卷，這些試題對考生的要求比較高.

　　對于高考備考，我們一向強(qiáng)調(diào)夯實(shí)基礎(chǔ)，回歸課本.能力的提高不可能是空中樓閣，也必須從扎實(shí)的基本功中提煉升華而來.細(xì)看向量高考題，不難在課本中找到它們的“影子”.

　　考查平面向量的線性運(yùn)算、垂直或平行

　　例1 （全國新課標(biāo)卷）設(shè)[D，E，F(xiàn)]分別為[△ABC]的三邊[BC，CA，AB]的中點(diǎn)，則[EB+FC=]（ ）

　　A. [BC] B. [12AD]

　　C. [AD] D. [12BC]

　　解析 [EB+FC=（EC+CB）+（FB+BC）]

　　原型 這道題直接考查平面向量的線性運(yùn)算，解題思路中涉及相反向量及平行四邊形加法法則，平行四邊形兩條對角線互相平分等內(nèi)容.

　　與此題最接近的是必修4課本第89面的例7：[?ABCD]的兩條對角線相交于點(diǎn)[M]，且[AB=a→，AD=b→]，你能用[a→，b→]表示[MA，MB，MC]和[MD]嗎？

　　解析 此題的設(shè)問是[λ=]？，而題目條件支持我們輕松求出向量[a 和 b]的模，因此應(yīng)該先將條件中的等式變形得到[b=-λaλ∈R]，再運(yùn)用數(shù)乘運(yùn)算的概念來解決問題：[λ=|b||a|=51=5.]

　　在2014年高考試題中還多次出現(xiàn)對向量垂直的考查，涉及的試卷有湖北卷、重慶卷和全國大綱卷.

　　例3 （湖北卷）設(shè)向量[a=（3，3）]，[b=（1，-1）]，若[（a+λb）⊥（a-λb）]，則實(shí)數(shù)[λ] .

　　解析

　　[∵a→+λb→=（3+λ，3-λ）， a→-λb→=（3-λ，3+λ），]

　　由[（a+λb）⊥（a-λb）]知，

　　[（3+λ）（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，]

　　[∴λ=±3.]

　　考查向量的模和數(shù)量積

　　山東卷比較單純地考查了數(shù)量積的概念以及其坐標(biāo)表示.

　　例4 （山東卷）已知向量[a→=（1，3），b→=（3，m）]. [若向量a→，b→]的夾角為[π6]，則實(shí)數(shù)[m=]（ ）

　　A. [23] B. [3] C. 0 D. [-3]

　　解析 [由a→?b→=a→?b→cosπ6得，cosπ6=32=a→?b→a→?b→]

　　[=3+3m2?9+m2，解得m=3.]

　　原型 難度與必修4課本107面的例6相當(dāng).屬于基本難度的考題.

　　對向量數(shù)量積進(jìn)行考查的還有江蘇卷的第12題.

　　例6 如圖，在平行四邊形[ABCD]中，已知[AB=8]，[AD=5]，[CP=3PD]，[AP?BP=2]，則[AB?AD]的值是 .

　　解析 這道題屬于中檔題，已知條件是數(shù)量積，求解的也是數(shù)量積. 因此要分析條件和求解向量之間的關(guān)系.于是我們產(chǎn)生這樣的想法，[以AB 和AD]為基底，表示[AP 和BP]，再由已知[AP?BP=2]得到關(guān)于[AB?AD]的等式，從而求出結(jié)果.

　　原型 向量的數(shù)量積是把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來，為解決相關(guān)的幾何問題提供了方便，是一種重要的思想方法. 因此同學(xué)們在復(fù)習(xí)中應(yīng)該熟練掌握.比如在必修5正余弦定理的證明中就用到了向量數(shù)量積的方法，使得證明過程簡潔明了.

　　考查平面向量的夾角

　　[又cosc，a=c?a|c|?|a|]，[cosc，b=c?b|c|?|b|]，

　　[∴c?a|c|?|a|=c?b|c|?|b|].

　　又[|b|=2|a|]，[∴2c?a=c?b].

　　即[2[（m+4）+2（2m+2）]=4（m+4）+2（2m+2），]

　　[∴m=2.]

　　解法2 [由a→=5，b→=25，a→?b→=8可得，]

　　[c→?a→=（ma→+b→）?a→=ma→2+b→?a→=5m+8.]

　　[c→?b→=（ma→+b→）?b→=ma→?b→+b→2=8m+20.]

　　[∴5m+85=8m+2025，∴m=2.]

　　解法3 對于某些向量問題，如果能夠發(fā)現(xiàn)其幾何意義，并依據(jù)幾何意義解題會使求解過程非常輕松.以這道題目為例.

　　因?yàn)閇c=ma+b]，且[c]與[a]的夾角等于[c]與[b]的夾角，由平行四邊形法則可知，以[ma→和b→]為鄰邊，[c]為對角線的平行四邊形是菱形，所以[ma→=b→]，又因?yàn)閇a→=5，b→=25，] 所以[m=2].

　　考查平面向量的基本定理

　　平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，但有些同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不夠重視，因此在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化對定理的充分認(rèn)識和理解是很有必要的.

　　例8 （福建卷）在下列向量組中，可以把向量[a]=（3，2）表示出來的是（ ）

　　考查平面向量與其他知識的交匯

　　數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識之間必然會存在聯(lián)系.向量與高中數(shù)學(xué)一些主干知識，如三角、立體幾何、解析幾何、不等式等都存在著深刻的聯(lián)系.它們之間容易形成知識的綜合或交匯.因此，向量與其它知識交匯自然受到高考命題者的青睞，應(yīng)該引起重視.

　　1.平面向量與二次函數(shù)交匯

　　例9 （浙江卷）設(shè)[θ]為兩個(gè)非零向量[a]，[b]的夾角，已知對任意實(shí)數(shù)[t]，[|b+ta|]的最小值為1，（ ）

　　A.若[θ]確定，惟[|a|]惟一確定

　　B.若[θ]確定，惟[|b|]惟一確定

　　C.若[|a|]確定，惟[θ]惟一確定

　　D.若[|b|]確定，惟[θ]惟一確定

　　解析 令二次函數(shù)[f（t）=|b+ta|2=|a|2t2+2a?bt+|b|2，]

　　[∵|a|≠0， |b|≠0， ]

　　則當(dāng)[t=-a?b|a|2=-|b|cosθ|a|]時(shí)，[f（t）]有最小值為[|b|2sin2θ，∴|b|2sin2θ=1.]

　　因此，當(dāng)[θ]確定時(shí)，[|b|]惟一確定.

　　2.平面向量與三角函數(shù)或解析幾何交匯

　　例10 （湖南卷）在平面直角坐標(biāo)系中，[O]為原點(diǎn)，[A（-1，0），B（0，3），C（3，0），]動點(diǎn)[D]滿足[|CD|=1，]則[|OA|+OB+OD]的最大值是 .

　　解法1 由[CD=1]知，點(diǎn)[D]在圓心為[C（3，0）]，半徑為1的圓上，

　　可設(shè)[D（3+cosθ，sinθ）， θ∈R. ]

　　[∵OA+OB+OD=（2+cosθ，3+sinθ），]

　　[∴OA+OB+OD=8+23sinθ+4cosθ]

　　[=8+27sin（θ+φ），]

　　利用三角函數(shù)知識可知，當(dāng)且僅當(dāng)[sin（θ+φ）=1]時(shí)，[OA+OB+OD]有最大值[7+1.]

　　解法2 由解析幾何知識知，因?yàn)閯狱c(diǎn)[D]的軌跡是以[C]為圓心的單位圓，所以[D]點(diǎn)的軌跡方程為：[（x-3）2+y2=1.]

　　又[∵OA+OB+OD=（x-1，y+3），]

　　于是問題轉(zhuǎn)化為求圓[C：（x-3）2+y2=1]上的點(diǎn)到點(diǎn)[M][（1，-3）]距離的最大值，最大值為[CM+1=7+1.]

　　3.平面向量與線性規(guī)劃交匯

　　解析 [∵OP=mAB+nAC，]

　　[∴（x，y）=（m+2n，2m+n）， ][即x=m+2n， y=2m+n.]

　　兩式相減得：[y-x=m-n.]

　　于是將問題轉(zhuǎn)化為求[y-x]在[△ABC]內(nèi)部及邊界求最大值的問題.令[y-x=t，]由線性規(guī)劃知識可知，當(dāng)直線[y=x+t]過點(diǎn)[B（2，3）]時(shí)，[t]取得最大值1，所以[m-n]的最大值為1.

　　總的來說，向量問題的解決途徑一般有兩個(gè)：一是基于幾何直觀的幾何法，二是基于坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)法.向量兼具幾何與代數(shù)的雙重特征，向量解題的工具性作用在于數(shù)形結(jié)合溝通形與數(shù)之間的關(guān)系.

[簡析2017年的數(shù)學(xué)向量高考真題]