中考數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間：2024-07-30 21:54:53 學(xué)人智庫我要投稿

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　　銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部.下面是小編整理的相關(guān)內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考！

中考數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)

　　中考數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)(一)

　　圓的定義：

　　圓是一種幾何圖形。當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。

　　在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

　　相關(guān)定義:

　　1 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。

　　2 連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，字母表示為r。

　　3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。

　　4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。

　　5 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個(gè)字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個(gè)字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

　　6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

　　7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。

　　8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。

　　9 頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

　　10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，通常用π表示，π=3.14159265……在實(shí)際應(yīng)用中，一般取π≈3.14。

　　11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。

　　12 圓是一個(gè)正n邊形(n為無限大的正整數(shù))，邊長無限接近0但不等于0。

　　圓的集合定義：

　　圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的`點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。

　　圓的字母表示：

　　以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。

　　圓—⊙ ;

　　半徑—r或R(在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母);

　　弧—⌒ ;

　　直徑—d ;

　　扇形弧長—L ;

　　周長—C ;

　　面積—S。

　　圓的性質(zhì):

　　(1)圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。

　　圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

　　垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

　　逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

　　(2)有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理

　�、� 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

　�、谠谕瑘A或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(圓周角與圓心角在弦的同側(cè))。

　　直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

　　圓心角計(jì)算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

　　即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù);圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

　�、� 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

　　(3)有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

　�、僖粋€(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等;

　�、趦�(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。

　�、跼=2S△÷L(R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長)。

　�、軆上嗲袌A的連心線過切點(diǎn)。(連心線：兩個(gè)圓心相連的直線)

　　⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。

　　(4)如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。

　　(5)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

　　(6)圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

　　(7)圓外角的度數(shù)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。

　　(8)周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

　　點(diǎn)、線、圓與圓的位置關(guān)系：

　　點(diǎn)和圓位置關(guān)系

　�、貾在圓O外，則 PO>r。

　�、赑在圓O上，則 PO=r。

　�、跴在圓O內(nèi)，則 0≤PO

　　反過來也是如此。

　　直線和圓位置關(guān)系

　　①直線和圓無公共點(diǎn)，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。

　�、谥本€和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

　�、壑本€和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與⊙O相切，d=r。(d為圓心到直線的距離)

　　圓和圓位置關(guān)系

　�、贌o公共點(diǎn)，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。

　�、谟形ㄒ还颤c(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。

　�、塾袃蓚€(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

　　設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r;外切P=R+r;內(nèi)含P

　　內(nèi)切P=R-r;相交R-r

　　中考數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)(二)

　　1.圓的周長C=2πr=或C=πd

　　2.圓的面積S=πr2

　　3.扇形弧長L=圓心角(弧度制)× r = n°πr/180°(n為圓心角)

　　4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2(L為扇形的弧長)

　　5.圓的直徑 d=2r

　　6.圓錐側(cè)面積 S=πrl(l為母線長)

　　7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L(L為母線長)(r為底面半徑)

　　圓的方程:

　　1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

　　(x-a)2+(y-b)2=r2。

　　特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。

　　2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有：

　�、佼�(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以(√D2+E2-4F)/2為半徑的圓;

　�、诋�(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-D/2，-E/2);

　�、郛�(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

　　3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ為參數(shù))

　　圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)A(a1,b1),B(a2,b2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

　　圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。

　　經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M(a0，b0)的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

　　在圓(x2+y2=r2)外一點(diǎn)M(a0，b0)引該圓的兩條切線，且兩切點(diǎn)為A,B，則A,B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。

　　初中數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)(三)

　　一)教學(xué)知識點(diǎn)

　　了解不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，以及過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

　　(二)能力訓(xùn)練要求

　　1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

　　2.通過探索不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的問題，進(jìn)一步體會解決數(shù)學(xué)問題的策略.

　　(三)情感與價(jià)值觀要求

　　1.形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神.

　　2.學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程，并能掌握這個(gè)結(jié)論.

　　2.掌握過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法.

　　3.了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程，并能過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓.

　　教學(xué)方法

　　教師指導(dǎo)學(xué)生自主探索交流法.

　　教具準(zhǔn)備

　　投影片三張

　　第一張：(記作§3.4A)

　　第二張：(記作§3.4B)

　　第三張：(記作 §3.4C)

　　教學(xué)過程

　�、�.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

　　[師]我們知道經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩點(diǎn)只能作一條直線.那么，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾個(gè)圓?經(jīng)過兩點(diǎn)、三點(diǎn)……呢?本節(jié)課我們將進(jìn)行有關(guān)探索.

　�、�.新課講解

　　1.回憶及思考

　　投影片(§3.4A)

　　1.線段垂直平分線的性質(zhì) 及作法.

　　2.作圓的關(guān)鍵是什么?

　　[生]1.線段垂直平分線的性質(zhì)是：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

　　作法：如下圖，分別以A、B為圓心，以大于 AB長為半徑畫弧，在AB的兩側(cè)找出兩交點(diǎn)C、D，作直線CD，則直線CD就是線段A B的垂直平分線，直線CD上的任一點(diǎn)到A與B的距離相等.

　　[師]我們知道圓的定義是：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓.定點(diǎn)即為圓心，定長即為半徑.根據(jù)定義大家覺得作圓的'關(guān)鍵是什么?

　　[生]由定義可知，作圓的問題實(shí)質(zhì)上就是圓心和半徑的問題.因此作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑的大小.確定了圓心和半徑，圓就隨之確定.

　　2.做一做(投影片§3.4B)

　　(1)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A，你能作出幾個(gè)這樣的圓?

　　(2)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A、B.你是如何作的?你能作出幾個(gè)這樣的圓?其圓心的分布有什么特點(diǎn)?與線段AB有什么關(guān)系?為什么?

　　(3)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A、B、C(A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上).你是如何作的?你能作出幾個(gè)這樣的圓?

　　[師]根據(jù)剛才我們的分析已知，作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑，下面請大家互相交換意見并作出解答.

　　[生](1)因?yàn)樽鲌A實(shí)質(zhì)上是確定圓心和半徑，要經(jīng)過已知點(diǎn)A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來.所以以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A所連的線段為半徑就可以作一個(gè)圓. 由于圓心是任意的.因此這樣的圓有無數(shù)個(gè).如圖(1).

　　(2)已知點(diǎn)A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑.因此圓心到A、B的距離相等.根據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，則圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線上.在AB的垂直平分線上任意取一點(diǎn)，都能滿足到A、B兩點(diǎn)的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)都可以作為圓心，這點(diǎn)到A的距離即為半徑.圓就確定下來了.由于線段AB的垂直平分線上有無數(shù)點(diǎn)，因此有無數(shù)個(gè)圓心，作出的圓有無數(shù)個(gè).如圖(2).

　　(3)要作一個(gè)圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，就是要確定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，使它到三點(diǎn)的距離相等.因?yàn)榈紸、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點(diǎn)滿足到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，就是所作圓的圓心.

　　因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，所以只有一個(gè)圓心，即只能作出一個(gè)滿足條件的圓.

　　[師]大家的分析很有道理，究竟應(yīng)該怎樣找圓心呢?

　　3.過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓.

　　投影片(§3.4C)

　　作法圖示

　　1.連結(jié)AB、BC

　　2.分別作AB、BC的垂直

　　平分線DE和FG，DE和

　　FG相交于點(diǎn)O

　　3.以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓

　　⊙O就是所要求作的圓

　　他作的圓符合要求嗎?與同伴交流.

　　[生]符合要求.

　　因?yàn)檫B結(jié)AB，作AB的垂直平分線ED，則ED上任意一點(diǎn)到A、B的距離相等;連結(jié)BC，作BC的垂直平分線FG，則FG上的任一點(diǎn)到B、C的距離相等.ED與FG的滿足條件.

　　[師]由上可知，過已知一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)圓.過已知兩點(diǎn)也可作無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓.

　　不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

　　4.有關(guān)定義

　　由上可知，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè) 圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓(circumcircle of triangle)，這個(gè) 三角形叫這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

　　外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心(circumcenter).

　�、�.課堂練習(xí)

　　已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點(diǎn)?

　　解：如下圖.

　　O為外接圓的圓心，即外心.

　　銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部.

　�、�.課時(shí)小結(jié)

　　本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容如下：

　　1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程.

　　方法.

　　3.了解三角形的外接圓，三角形的外心等概念.

　�、�.課后作業(yè)

　　習(xí)題3.6

　�、�.活動與探究

　　如下圖，CD所在的直線垂直平分線段AB.怎樣使用這樣的工具找到圓形工件的圓心?

　　解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在圓上，所以圓心必與A、B兩點(diǎn)的距離相等，又因?yàn)楹鸵粭l線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，所以圓心在CD所在的直線上.因此使用這樣的工具可以作出圓形工件的任意兩條直徑.它們的交點(diǎn)就是圓心.

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