5、跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。

注：一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米

一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb 厘米

6、任意一個正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π

7、常用數(shù)據(jù)

   π=3.14   2π=6.28   3π=9.42    4π=12.56   5π=15.7 第五單元、百分?jǐn)?shù) 一、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

注：百分?jǐn)?shù)是專門用來表示一種特殊的倍比關(guān)系的，表示兩個數(shù)的比，所以，百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率，百分?jǐn)?shù)不能帶單位。  

1、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）聯(lián)系：都可以用來表示兩個量的倍比關(guān)系。

（2）區(qū)別：意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示倍比關(guān)系，不表示具體數(shù)量，所以不能帶單位。分?jǐn)?shù)不僅表示倍比關(guān)系，還能帶單位表示具體數(shù)量。

        百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)，分?jǐn)?shù)的分子只以是整數(shù)。

注：百分?jǐn)?shù)在生活中應(yīng)用廣泛，所涉及問題基本和分?jǐn)?shù)問題相同，分母是100的分?jǐn)?shù)并不是百分?jǐn)?shù)，必須把分母寫成“%”才是百分?jǐn)?shù)，所以“分母是100的分?jǐn)?shù)就是百分?jǐn)?shù)”這句話是錯誤的�！�%”的兩個0要小寫，不要與百分?jǐn)?shù)前面的數(shù)混淆。一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

2、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化

（1）百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：小數(shù)點向左移動兩位，去掉“%”。

（2）小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：小數(shù)點向右移動兩位，添上“%”。

（3）百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)寫成分母是100的分?jǐn)?shù)，然后再化簡成最簡分?jǐn)?shù)。

（4）分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：分子除以分母得到小數(shù)，（除不盡的保留三位小數(shù)）然后化成百分?jǐn)?shù)。

（5）小數(shù) 化 分?jǐn)?shù)：把小數(shù)成分母是10、100、1000等的分?jǐn)?shù)再化簡。

（6）分?jǐn)?shù) 化 小數(shù)：分子除以分母。

二、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

1、 求常見的百分率 如：達(dá)標(biāo)率、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等求百分率就是求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾

2、 求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾，實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾   （甲-乙）÷乙

求乙比甲少百分之幾   （甲-乙）÷甲

3、 求一個數(shù)的百分之幾是多少 一個數(shù)（單位“1”） ×百分率

4、 已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)   部分量÷百分率=一個數(shù)（單位“1”）

5、 折扣  折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十

         

折扣 成數(shù) 幾分之幾 百分之幾 小數(shù) 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8   八五折 八成五 十分之八點五 百分之八十五 0.85   五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半價 6、 納稅   繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。 

（應(yīng)納稅額）÷（總收入）=（稅率）

（應(yīng)納稅額）=（總收入）×（稅率）

7、 利率

（1）存入銀行的錢叫做本金。 

（2）取款時銀行多支付的錢叫做利息。 

（3）利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×?xí)r間

稅后利息=利息-利息的應(yīng)納稅額=利息-利息×5%

注：國債和教育儲蓄的利息不納稅

8、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題型分類

（1）求甲是乙的百分之幾——（甲÷乙）×100%  = ×100% = 百分之幾

（2）求甲比乙多(少)百分之幾——×100% = ×100%

例

① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50÷40=125%

② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40÷50=80%

③ 乙是40，甲是乙的125%，甲數(shù)是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50

④ 甲是50，乙是甲的80%，乙數(shù)是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40

⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲數(shù)是多少？（一個數(shù)的80%是40，這個數(shù)是多少？）40÷80%=50

⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙數(shù)是多少？（一個數(shù)的125%是50，這個數(shù)是多少？）50÷125%=40

⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾？）(50-40)÷40×100%=25%

⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾？（40比50少百分之幾？）(50-40)÷50×100%=20%

⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40

⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50

11 乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50

12 乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40

13 乙是40，甲比乙多25%，甲數(shù)是多少？（什么數(shù)比40多25%？）40×（1+25%）=50

14 甲是50，乙比甲少20%，乙數(shù)是多少？（什么數(shù)比50多25%？）50×（1-20%）=40

15 乙是40，比甲少20%，甲數(shù)是多少？（40比什么數(shù)少20%？）40÷（1-20%）=50

16 甲是50，比乙多25%，乙數(shù)是多少？（50比什么數(shù)多25%？）40÷（1+25%）=40

第六單元、統(tǒng)計

1、 扇形統(tǒng)計圖的意義：用整個圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間關(guān)系，也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比，因此也叫百分比圖。

2、 常用統(tǒng)計圖的優(yōu)點：

（1）、條形統(tǒng)計圖直觀顯示每個數(shù)量的多少。

（2）、折線統(tǒng)計圖不僅直觀顯示數(shù)量的增減變化，還可清晰看出各個數(shù)量的多少。

（3）、扇形統(tǒng)計圖直觀顯示部分和總量的關(guān)系。 第七單元、數(shù)學(xué)廣角 一、研究中國古代的雞兔同籠問題。

1、 用表格方式解決有局限性，數(shù)目必須小，例：

頭數(shù) 雞（只）兔（只） 腿數(shù)

35    1      34

35    2      33

35    3      32

……

（逐一列表法、腿數(shù)少，小幅度跳躍；腿數(shù)多，大幅度跳躍。跳躍逐一相結(jié)合、取中列表）

2、 用假設(shè)法解決

（1） 假如都是兔

（2） 假如都是雞

（3） 假如它們各抬起一條腿

（4） 假如兔子抬起兩條前腿

3、 用代數(shù)方法解（一般規(guī)律）

注釋：這個問題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？ 

二、和尚分饅頭

100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人吃3個，小和尚三人吃一個。大小和尚各多少人？

國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題： 

  一百饅頭一百僧，

  大僧三個更無爭，

  小僧三人分一個，

  大小和尚各幾��？"

如果譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問大、小和尚各有幾人？

方法一，用方程解：

解：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100－x)人，根據(jù)題意列得方程：

  3x + (100－x)=100

                x＝25

100－25＝75人

方法二，雞兔同籠法：

(1)假設(shè)100人全是大和尚，應(yīng)吃饅頭多少個？

   3×100=300(個)．

(2)這樣多吃了幾個呢？

  300－100=200(個)．

(3)為什么多吃了200個呢？這是因為把小和尚當(dāng)成大和尚。那么把小和尚當(dāng)成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭？

  3－=（個）

(4)每個小和尚多算了8/3個饅頭，一共多算了200個，所以小和尚有：

  小和尚：200÷＝75（人）

  大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分組法：

由于大和尚一人分3只饅頭，小和尚3人分一只饅頭。我們可以把3個小和尚與1個大和尚編為一組，這樣每組4個和尚剛好分4個饅頭，那么100個和尚總共分為100÷（3+1）=25組，因為每組有1個大和尚，所以有25個大和尚；又因為每組有3個小和尚，所以有25×3＝75個小和尚。

  這是《直指算法統(tǒng)宗》里的解法，原話是："置僧一百為實，以三一并得四為法除之，得大僧二十五個。"所謂"實"便是"被除數(shù)"，"法"便是"除數(shù)"。列式就是：

        100÷（3+1）=25（組）

大和尚：25×1=25（人）

小和尚：100-25=75（人）或25×3=75（人）

我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑。

三、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)類型

（一）求甲是乙的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）的應(yīng)用題。

解法：甲數(shù)除以乙數(shù)

例：校園里有楊樹40棵，柳樹有50棵，楊樹的棵樹占柳樹的百分之幾？（或幾分之幾？）

（二）求甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少的應(yīng)用題。

解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，首先要確定單位“1”，在單位“1”確定以后，一個具體數(shù)量總與一個具體分?jǐn)?shù)（分率）相對應(yīng)，這種關(guān)系叫“量率對應(yīng)”，這是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。

求一個數(shù)的幾倍（幾分之幾或百分之幾）是多少用乘法，單位“1”×分率=對應(yīng)數(shù)量

例：六年級有學(xué)生180人，五年級的學(xué)生人數(shù)是六年級人數(shù)的6(5)。五年級有學(xué)生多少人？

180×6(5)=150

（三）已知甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少，求甲數(shù)（即求標(biāo)準(zhǔn)量或單位“1”）的應(yīng)用題。

解法：對應(yīng)數(shù)量÷對應(yīng)分率=單位“1”

例：育紅小學(xué)六年級男生有120人，占參加興趣活動小組人數(shù)的5(3). 六年級參加興趣活動小組人數(shù)共有學(xué)生多少人？

120÷5(3)=200（人）

http://www.lotusphilosophies.com/