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等差數(shù)列專(zhuān)題訓(xùn)練及答案
一、填空題
1.(2013重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c-a=________.
[解析] 由題意得該等差數(shù)列的公差d==，
所以c-a=2d=.
[答案]
2.在等差數(shù)列{an}中，d=2，a15=-10，則S15=________.
[解析] 由a15=a1+142=-10得a1=-38，
所以S15===-360.
[答案] -360
3.等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若a1=1，ak+a4=0，則k=________.
[解析] 由S9-S4=0，即a5+a6+a7+a8+a9=0，即a7=0.
又ak+a4=0=2a7，故k=10.
[答案] 10
4.(2012福建高考改編)等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10，a4=7，則數(shù)列{an}的公差為_(kāi)_______.
[解析] 法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得
解得d=2.
法二：在等差數(shù)列{an}中，a1+a5=2a3=10，a3=5.
又a4=7，公差d=7-5=2.
[答案] 2
5.如果等差數(shù)列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4++a9=________.
[解析] 等差數(shù)列{an}中，a5+a6+a7=15，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得3a6=15，解得a6=5.
那么a3+a4++a9=7a6=35.
[答案] 35
6.《九章算術(shù)》竹九節(jié)問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_______升.
[解析] 設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，則第9節(jié)容量為a9，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
則
解之得a1=，d=，
故a5=a1+4d=.
[答案]
7.(2012遼寧高考改編)在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=________.
[解析] S11===88.
[答案] 88
8.(2013重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8=________.
[解析] a1，a2，a5成等比數(shù)列，a=a1a5，
(1+d)2=1(4d+1)，d2-2d=0.
d0，d=2.
S8=81+2=64.
[答案] 64
二、解答題
9.(2014湖北高考)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800?若存在，求n的最小值;若不存在，說(shuō)明理由.
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d)2=2(2+4d)，
化簡(jiǎn)得d2-4d=0，解得d=0或d=4.
當(dāng)d=0時(shí)，an=2;
當(dāng)d=4時(shí)，an=2+(n-1)4=4n-2，
從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.
(2)當(dāng)an=2時(shí)，Sn=2n.顯然2n60n+800，
此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800成立.
當(dāng)an=4n-2時(shí)，Sn==2n2.
令2n260n+800，即n2-30n-4000，
解得n40或n-10(舍去)，
此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800成立，n的最小值為41.
綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的n;
當(dāng)an=4n-2時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的n，其最小值為41.
10.(2013福建高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1，前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1;
(2)若S5a1a9，求a1的取值范圍.
[解] (1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a=1(a1+2)，
即a-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1，且S5a1a9，
所以5a1+10a+8a1，
即a+3a1-100，解得-5
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