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基于“過程”哲學(xué)觀的“旋轉(zhuǎn)變換”教學(xué)創(chuàng)新
一、引言“過程”哲學(xué)觀是對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一種看法:數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法.即概念的形成過程、原理的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)過程、概念或原理與外部的聯(lián)系及與內(nèi)部的聯(lián)系的探索過程、概念或原理的特殊化及一般化的探索過程、發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題的過程、問題解決后的反思過程等,是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機組成部分.特別是數(shù)學(xué)思維和思想的展開過程是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.辯證地把握“過程”與“結(jié)果”的關(guān)系,有利于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的知識與技能、體會和運用數(shù)學(xué)的思想與方法、積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗以及增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力和形成良好的個性.基于“過程”哲學(xué)觀的數(shù)學(xué)教學(xué)怎樣操作?筆者以浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊“2.4旋轉(zhuǎn)變換”為載體,采用研究性變革實踐的方式進(jìn)行了探索.初步的理論求證與實踐驗證表明,探索中形成的教學(xué)操作方法,能辯證地把握“過程”與“結(jié)果”的關(guān)系,對促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展有積極的作用.本文簡錄其教學(xué)過程,并提供教后反思,供讀者參考、研究.
二、教學(xué)過程簡錄
第一階段:旨在“資源生成”的“有向開放”——預(yù)習(xí)基礎(chǔ)上的交互反饋
第1步:課前預(yù)習(xí)——自主探索
課前,教師設(shè)計如下的“先行組織者”,要求學(xué)生課前預(yù)習(xí)(允許合作研討).
(1)先指出下列圖形的運動特點(從△ABC到△A′B′C′),再按運動特點將其分類.
(2)生活中有類似于圖3、圖5的運動現(xiàn)象嗎?如果有的話,請你舉出盡可能多的生活實例!
(3)通過經(jīng)歷上述觀察、分類、舉例的過程,對圖3、圖5的這類運動現(xiàn)象有何感觸?
第2步:匯報交流——交互反饋
上課一開始,教師出示課前布置的問題,并要求學(xué)生匯報預(yù)習(xí)成果.同時教師傾聽學(xué)生的匯報、交流,必要時,教師進(jìn)行追問、激勵、評析.在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié):
(1)圖1與圖4,圖形的運動特點是翻折(運動前后的兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱);圖2與圖6,圖形的運動特點是定向移動(運動前后的兩個圖形的對應(yīng)點連線平行);圖3與圖5,圖形的運動特點是繞定點旋轉(zhuǎn)(運動前后的兩個圖形的對應(yīng)點旋轉(zhuǎn)相同的角度).
(2)圖形的旋轉(zhuǎn)運動具有豐富的現(xiàn)實情景,如“電風(fēng)扇葉片的轉(zhuǎn)動”、“鐘表分針的轉(zhuǎn)動”、“螺旋槳葉片的轉(zhuǎn)動”、“鐘擺的轉(zhuǎn)動”等.
(3)生活中旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象具有廣泛的存在性;圖形旋轉(zhuǎn)是物體旋轉(zhuǎn)運動的數(shù)學(xué)抽象?圖形旋轉(zhuǎn)能使局部的圖形變成整體的圖形,能使分散的圖形集中起來,能使分散的條件相互溝通.
第二階段:旨在“發(fā)展思維”的“互動生成”——研討基礎(chǔ)上的綜合概括
第3步:引導(dǎo)探究——合作研討
正因為這樣的圖形改變(旋轉(zhuǎn))有豐富的現(xiàn)實情景和廣泛的應(yīng)用價值,就決定了從數(shù)學(xué)角度研究這樣的圖形改變的必要性.這節(jié)課的研究對象就是這樣的圖形改變(旋轉(zhuǎn)).(揭示課題)
接著,教師依次提出以下3個挑戰(zhàn)性的問題,要求學(xué)生合作研討并發(fā)表自己的觀點.
問題1 如圖3、圖5,這樣的圖形改變(旋轉(zhuǎn))的本質(zhì)特征是什么?你是怎樣發(fā)現(xiàn)的?如果回答這個問題有困難,請先思考:①圖形是由點組成的,圖形運動能否看成是圖形上點的運動?②考察圖形上點運動特征的策略是什么?
學(xué)生獨立學(xué)習(xí)(允許合作研討),教師巡視指導(dǎo),約2分鐘后進(jìn)行交流、評析.
問題2 怎樣確定圖形改變后的新圖形?如圖7,O是△ABC外的一點.怎樣作△ABC繞定點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后的圖形?
學(xué)生獨立學(xué)習(xí)(允許合作研討),教師巡視指導(dǎo),約2分鐘后進(jìn)行交流、示范.
問題3 ①分別指出圖3、圖5和圖8改變前后兩個圖形的對應(yīng)點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角?②問:改變前后兩個圖形有哪些不變關(guān)系(位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系)?(提示:可從整體(著眼于圖形)和局部(著眼于邊、角、點)多個視角進(jìn)行觀察)
學(xué)生獨立學(xué)習(xí)(允許合作研討),教師巡視指導(dǎo),約3分鐘后進(jìn)行交流、評析.
第4步:建構(gòu)理論——綜合概括
在此基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生概括得出旋轉(zhuǎn)變換的概念、確定旋轉(zhuǎn)變換后像的方法、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換蘊涵的思維方法和思想方法及“三種幾何變換”的異同.
(1)旋轉(zhuǎn)變換的概念:由一個圖形改變?yōu)榱硪粋�圖形,在改變的過程中,原圖形上的所有點都繞一個固定的點,按同一個方向(按順時針,或逆時針),轉(zhuǎn)動(作圓周運動)同一個角度,這樣的圖形改變叫做圖形的旋轉(zhuǎn)變換,簡稱旋轉(zhuǎn).這個固定點叫做旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角,經(jīng)變換所得的新圖形叫做原圖形的像.
(2)確定旋轉(zhuǎn)變換后像的方法:①操作法——圖形整體旋轉(zhuǎn)(依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的含義).這種方法的優(yōu)點是直觀,缺點是操作不方便;②作圖法——圖形旋轉(zhuǎn)化歸為點旋轉(zhuǎn)(依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的特征),這種方法的優(yōu)點是操作方便(更有“數(shù)學(xué)味”),缺點是抽象.兩種思想方法都有應(yīng)用價值,不可偏廢.
(3)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大小——旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等;對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個圖形的不變關(guān)系是進(jìn)一步認(rèn)識幾何的理論基礎(chǔ).
(4)旋轉(zhuǎn)變換蘊涵的思維方法:一般到特殊(圖形運動→點運動→特殊點運動)和特殊到一般(特殊點運動→點運動→圖形運動);旋轉(zhuǎn)變換蘊涵的思想方法:通過圖形旋轉(zhuǎn)運動將局部的圖形變成整體的圖形,將分散的圖形集中起來,將分散的條件相互溝通.這些思維方法和思想方法具有廣泛的應(yīng)用價值.
(5)“三種幾何變換”的異同:軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的相同點:①它們都是過程性概念,描述的是圖形運動;②它們變換前后的兩個圖形的形狀、大小都不變;③它們蘊涵的思維方法和思想方法都相同.軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的不同點:①它們圖形運動的特點不同——軸對稱變換的運動
特點是翻折,平移變換的運動特點是定向移動,旋轉(zhuǎn)變換的運動特點是繞定點旋轉(zhuǎn);②它們運動前后兩個圖形的方向不同——軸對稱變換改變圖形方向,平移變換不改變圖形方向,旋轉(zhuǎn)變換改變圖形方向;③它們改變前后兩個圖形的部分不變關(guān)系不同、應(yīng)用范圍不同等.
第三階段:旨在“發(fā)展技能”的“嘗試運用”——解答基礎(chǔ)上的反思拓展
第5步:嘗試運用——解答問題
教師在綜合概括的基礎(chǔ)上,依次提出下列4個有代表性問題,要求學(xué)生在獨立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上交流合作.
問題4 (辨別)如圖9,正確表示將正方形X繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°的是哪一個?為什么?
學(xué)生選擇與分析,必要時,教師進(jìn)行追問、評析.
問題5 (概念識別)①如下頁圖10,經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換,可由射線OP得到射線OQ?②下頁圖11是一雙手的圖片,能否經(jīng)過一定的旋轉(zhuǎn)變換,使左手的圖形與右手的圖形重合?經(jīng)過軸對稱變換呢?從中可以得到什么結(jié)論?
學(xué)生口述,必要時,教師進(jìn)行追問、評析.
問題6 (方法演示)如圖12,以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將線段AB按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,作出經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后所得的像.請你提供盡可能多的方法,并求出像與線段AB所成的銳角度數(shù).
學(xué)生作圖操作,教師巡視指導(dǎo),約2分鐘后進(jìn)行交流、評析.
問題7 (問題解決)圖13是一個直角三角形的苗圃,由正方形花壇和兩塊直角三角形的草皮組成,如果兩個直角三角形的兩條斜邊長分別為3米和6米,你能求出草皮的面積是多少嗎?
學(xué)生獨立學(xué)習(xí)(允許合作研討),教師巡視指導(dǎo),約2分鐘后進(jìn)行交流、評析.
第6步:做后思考——反思拓展
教師在學(xué)生用數(shù)學(xué)方法和理論解答有代表性問題的基礎(chǔ)上,依次提出以下2個反思性問題,要求學(xué)生合作研討并發(fā)表自己的觀點.
問題8 問題6,作圖的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具體使用了哪些技巧?一般地,旋轉(zhuǎn)變換前后兩個圖形對應(yīng)邊所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角有何關(guān)系?
問題9 問題7,解題的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具體使用了哪些技巧?一般地,用旋轉(zhuǎn)變換的思想方法解題的條件是什么?
教師在學(xué)生充分發(fā)表意見的基礎(chǔ)上給出問題的答案:
(1)問題6作圖的策略是用圖形旋轉(zhuǎn)的特征,用的是用作圖工具作圖的方法,使用的技巧是:①先將點A,B繞定點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得A′,B′,再連結(jié)A′,B′;②先過點O作線段AB所在直線的垂線,設(shè)垂足為N,然后將點N繞定點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得N′,再過點N′作ON′的垂線,并在垂線上取N′A′NA,N′B′NB.一般地,旋轉(zhuǎn)變換前后兩個圖形對應(yīng)邊所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角或等于周角減去旋轉(zhuǎn)角.
(2)問題7解題的策略是用圖形旋轉(zhuǎn)的思想,用的方法是將△BEC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使用的技巧是:先將△BEC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使分散的兩個三角形變成一個大的直角三角形,再用三角形面積公式求此三角形的面積.一般地,問題涉及等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、正方形時,可考慮用旋轉(zhuǎn)變換的思想方法.; 第四階段:旨在“拓展生成”的“開放延伸”——學(xué)生回顧基礎(chǔ)上的教師總結(jié)
第7步:回顧思考——交流合作
教師在解題后反思的基礎(chǔ)上,列下“問題清單”,鼓勵學(xué)生圍繞問題進(jìn)行交互反饋.
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