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高等數(shù)學學習中錯誤的再認識論文
【摘要】 學生在高等數(shù)學的學習中，出現(xiàn)錯誤是在所難免的，有其合理的一面。教師要看到數(shù)學學習的過程，本就是一個不斷的探索、修正、提高，升華的過程。充分利用學習過程中的錯 誤，激發(fā)學生的認知沖突，引導學生進行反思。把錯誤變成有效的教學資源。
【關(guān)鍵詞】 錯誤； 合理性； 認知； 反思
在數(shù)學學習中，學生對于知識的理解、掌握乃至應(yīng)用會出現(xiàn)形形色色的錯誤。隨著近年來現(xiàn)代認知心理學與數(shù)學教育哲學研究的深入，對于數(shù)學學習中產(chǎn)生的“錯誤”，人們的態(tài)度也發(fā)生了轉(zhuǎn)變：從以前的純粹否定轉(zhuǎn)而對“錯誤”的類型進行理解和分析，并力求去發(fā)現(xiàn)其中的積極成分。筆者認為，對于錯誤加以充分的分析和利用，不僅可以使教師及時找出錯誤的原因，掌握學生對相關(guān)知識的學習情況，了解他們在認知結(jié)構(gòu)上的成熟度，還可以使“錯誤”成為有效的教學資源，引導并幫助完善、更新認知結(jié)構(gòu)，調(diào)控思維方向，進行反思性學習等，達到優(yōu)化教學的目的。
1 高等數(shù)學學習中錯誤的合理性
1.1 從學習者的角度 李善良先生曾經(jīng)明確提出在數(shù)學概念的學習中可以將錯誤區(qū)分為“過程性”合理性錯誤，并指出所謂“合理性”錯誤，“是指學生在數(shù)學學習中階段、水平的轉(zhuǎn)變及不同的個性傾向等所帶來的概念的學習障礙而造成的一類錯誤”［1］。這類錯誤具有隱蔽性、長期性，并帶有“合理性”、“規(guī)律性”和“不可避免性”。筆者以為，這一論斷可以推廣到數(shù)學學習的全過程。
在數(shù)學學習的過程中，隨著學習進程的深入，勢必會更新已有的認識經(jīng)驗，進入新的認知層次，其思維模式和認知結(jié)構(gòu)也必須不斷進行調(diào)整和和重新構(gòu)建。然而，學生在先期學習中的模式、結(jié)構(gòu)以及產(chǎn)生的一些習慣已經(jīng)穩(wěn)固地存在他們的頭腦中，所以學習新知識時，由慣性而帶來的一些在思維、認知中的弊端就會凸現(xiàn)出來，形成數(shù)學知識學習的障礙而產(chǎn)生錯誤，產(chǎn)生負遷移。建構(gòu)主義認為，錯誤就是學生利用已有的知識經(jīng)驗，主動構(gòu)建的結(jié)果，是“意義賦予”的產(chǎn)物。數(shù)學學習的過程，本就是一個不斷的探索、修正、提高，升華的過程。由此可見，錯誤是其中不可避免的一個環(huán)節(jié)。“個體的成長不僅是由于反抗他內(nèi)部的錯誤性，而且也是依靠他內(nèi)部的錯誤性”［2］。 通過錯誤的發(fā)現(xiàn)和解決，才能構(gòu)建真正意義上的新知，把認知從已有的不良結(jié)構(gòu)領(lǐng)域向良好結(jié)構(gòu)領(lǐng)域轉(zhuǎn)變，并進一步補充和完善，從而實現(xiàn)思維的發(fā)展。
1.2 從教師的角度
在醫(yī)用高等數(shù)學的教學中，由于課時緊，教學任務(wù)重，（涉及的高等數(shù)學知識涉及數(shù)學分析、微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計等多門高等數(shù)學的分支），許多教師常常對學生采用自覺不自覺的采用了大容量、快節(jié)奏的“滿堂灌”的授受方式，其結(jié)果是導致學生對所學或是知識一知半解、或者體會不深刻，直接導致了最終形形色色的錯誤產(chǎn)生，甚至使學生產(chǎn)生畏難、厭學的情緒。而教師對于學生在數(shù)學學習中過程中產(chǎn)生的錯誤不重視，或者視而不見，更有甚者，基本上在課堂上就剝奪了學生“犯錯誤”的機會，只是將正確的、“標準”的答案一再重復(fù)，這種方式表面上看是面面俱到，完美無缺，卻不知剝奪了學生犯錯誤的機會，也就是剝奪了學生思考的空間，使得他們失去了體驗數(shù)學、感受數(shù)學的過程，從而也就失去了真正領(lǐng)悟數(shù)學思想方法和豐富情感體驗的機會，是得不償失的。
2 錯誤的意義、價值
錯誤的產(chǎn)生不僅具有合理性的一面，對新知的構(gòu)建、思想方法的理解還有著重要意義和極大價值的。
2.1 構(gòu)成認知的沖突，激發(fā)求知欲（動機理論）
在學習新知識之前，學生頭腦中已有的知識經(jīng)驗、認知結(jié)構(gòu)會對新的知識產(chǎn)生影響。學習高等數(shù)學以前，學生接觸的大都是初等數(shù)學的內(nèi)容。而初等數(shù)學和高等數(shù)學由于學習的內(nèi)容和思想方法的不同（從有限到無限，從一元到多元等等）很多學生不能很快的實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，以前的知識結(jié)構(gòu)、思想方法直接遷移或者推廣到高等數(shù)學學習中從而產(chǎn)生錯誤。
例如：求極限：limn→∞(1+2+…nn2) ，學生很自然的了解每一項趨于0，一共有多少項呢？不少學生回答：n項。那么結(jié)果呢？很多學生熟悉結(jié)果，答曰：1/2。或者進行爭論：應(yīng)該是0 ��！為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？學生自己會反思，得到n→∞ 的結(jié)論，自己會發(fā)現(xiàn)有限的結(jié)論不能直接應(yīng)用與無限項。這樣構(gòu)造了認知沖突，比直接闡述告知：“有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小”效果會好許多。
我們可以認為，盡管在學習過程中學生會時常出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，從表面上看，教學過程似乎不是那么“完美”。但是，正是這類錯誤導致的矛盾和謬誤，才更能引起學生的懷疑和求知的動力。在這樣的懷疑和沖突中，強烈的求知欲被激發(fā)，思維的火花被點燃，他們才能更積極地、主動地、深入地去探索和把握數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，調(diào)整和構(gòu)建新的、正確的思維模式和認知結(jié)構(gòu)。也正是通過不斷地“引起認知沖突”，對所產(chǎn)生的懷疑和沖突不斷地加以消除，才能最終促進學生的認知不斷發(fā)展和完善。
2.2 促進教學反思
教學反思，是教學活動中極為重要的但往往在實際教學中被忽略了的環(huán)節(jié)。很多學生不知道反思，或者不知如何進行反思，筆者以為，學習中“錯誤”的出現(xiàn)是進行反思的良好契機。
2.2.1 發(fā)現(xiàn)錯誤，反思的最佳時機：學生在高等數(shù)學的學習中，出現(xiàn)錯誤是在所難免的。有時候，為了更好的突出或者強調(diào)某個重點，教師在必要時可以預(yù)設(shè)錯誤，有意識地給學生造成思維障礙。而當錯誤出現(xiàn)，學生思維受阻時，就是進行反思的最好時機。
在講解洛必達法則時，學生對limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=limx→af″(x)F″(x)=L 這種形式非常喜歡，往往容易忽視洛必達法則的使用條件。于是教師讓學生判斷：limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞(1-sinx) 是否正確，是否可以說極限不存在，洛必達法則失效？在學生議論、爭論時，教師適時地加以引導，讓他們反思定理的使用條件，印象會更加深刻。
例如：求證 sin(x2sin1x) 是x的高階無窮小，很多學生會給出這樣的證明：
證： limx→0sin(x2sin1x)x=limx→0x2sin1xx=limx→0xsin1x=0
∴ sin(x2sin1x) 是x的高階無窮小。
這個推演過程是不正確的。但是，又是學生在解題時常常會犯的錯誤。
顯然，學生在第一步對等價無窮小替換方法的使用出現(xiàn)了不恰當遷移，即認為當 x→0 時，有sinx等價于x, ∴ 當x→0時，自然有sin(x2sin1x) 等價于x2sin1x ， 事實上，學生往往忽視了等價無窮小進行比較時，要求有“作為分母的函數(shù)在變化過程中不能為零”（當x=1nπ時 ，分母為0）這一重要條件，所以導致了錯誤。
教師要給學生充分的、嘗試錯誤的機會，并使其在錯誤中進行反思，找到問題的癥結(jié)所在，既達到溝通新舊知識，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)特征，又可以進一步深化對所學知識、思想方法的理解，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)。
2.2.2 糾正錯誤，反思思維的靶向性： 出現(xiàn)了錯誤，及時進行反思，以調(diào)整自己的思維，這一策略隨著教學的推進，很多學生也逐漸意識到其重要性。如何解決和糾正錯誤，就涉及到反思的方向問題。但是反思什么，如何反思，怎樣調(diào)整思維策略，具體的方向怎樣，是他們所不知道的。教師要在此時，結(jié)合具體的例子，具體的分析，引導或者幫助學生掌握一定的思考方向，減少活動的盲目性、試誤性，增加成功的概率，即所謂靶向性的養(yǎng)成，形成良好的思維習慣，優(yōu)化思維品質(zhì)。
例如：判斷：若f(x)在閉區(qū)間上有原函數(shù)F（x），問f(x)是否可積？
對于這樣的問題，很多學生理所當然的認為有原函數(shù)就是可積，兩者是等價的。當教師給出否定的答案時，他們顯得茫然無措，不知道所以然，更不知遇到此類問題應(yīng)該從哪個方向思考。由于課時的原因，我們直接給出了反例，可以說明函數(shù)具有原函數(shù)和可積是沒有必然聯(lián)系的。
f(x)=2xcon1x2+ 2xsin 1x2, x∈(0,1］
0, x=0
而：F(x)=f′(x)=x2sin1x2, x≠0
0, x=0
但是學生僅僅記住或者知道這個結(jié)論是沒有任何意義的。于是引導學生思考什么是原函數(shù)?可積是在什么時候提出的概念？
錯誤的結(jié)果使學生激起了探索、求知的欲望，在教師層層推進的問題中，學生逐漸明確了思維方向，及時調(diào)整、改進了自己的思維策略，使得思考更有針對性，促進學生對自我認知的調(diào)控。
2.2.3 回顧錯誤的解決過程，形成反思習慣：一個數(shù)學問題解決后，并不意味著活動的結(jié)束，學習者要回顧整個問題的解決過程，分析錯誤產(chǎn)生的原因，是因為認知結(jié)構(gòu)的不夠完善，還是由于錯誤的、不充分的信息的加入，包括所涉及的知識點和數(shù)學思想方法，學生自己的思考過程中的方向問題，力求甄別出認知結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)良好的領(lǐng)域以及需要完善的領(lǐng)域等等，形成良好的反思習慣。
此外，除了引導學生及時地進行反思性學習外，教學反思還應(yīng)該包括教師對教學的全過程的反思。教師的反思應(yīng)該著眼于針對相關(guān)知識進行的教學設(shè)計、學生的學情，教學實施的具體過程以及結(jié)果進行反思。在錯誤發(fā)生時以及課程結(jié)束后，教師也要根據(jù)學生出現(xiàn)的具體情況，積極進行自我反思：包括教學的過程是否和教學的設(shè)計相符合，調(diào)控，學生出現(xiàn)錯誤是由于強調(diào)的不夠還是偶爾的疏忽，甚至是自己理解的偏差，以后的教學還需要在哪些方面作出調(diào)整等。同時，及時準確的發(fā)現(xiàn)錯誤、識別錯誤，甚至有意識地預(yù)設(shè)錯誤，或者把錯誤引而不發(fā)以給學生自己改正錯誤的機會等等，無一不對教師自身提出了更高的要求。教師要不斷的提高自身的修養(yǎng)，力求使教學水平不斷提高。
【參考文獻】
1 李善良． 數(shù)學概念學習中的錯誤分析．數(shù)學教育學報，2002,8.
2 鄭毓信． 數(shù)學教育的現(xiàn)代發(fā)展．南京： 江蘇教育出版社，1999.
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