求組合圖形面積的基本解法與思路下

時(shí)間：2023-04-30 11:44:57 數(shù)學(xué)論文我要投稿

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求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

如果一個(gè)陰影部分所示的圖形既不是基本圖形，也不能通過分解、隔離、組合、平移、旋轉(zhuǎn)和割補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化成基本圖形或其相加減的形式時(shí)，應(yīng)該怎么求解呢？如前面所介紹的方框圖所示，這時(shí)可運(yùn)用一些特殊的方法進(jìn)行分析解答。

倍分比較法

有些求面積問題，往往已知甲圖形的面積卻要求乙圖形的面積，這時(shí)，可通過尋找甲乙兩圖形之間存在的關(guān)系去求解。這個(gè)關(guān)系就是兩圖形面積之間的倍率（幾倍）或分率（幾分之幾）關(guān)系。這種思路往往是通過添加合適的輔助線來構(gòu)成等底等高的三角形（或其它面積有倍分關(guān)系的圖形）來進(jìn)行比較和解答的。

例１．如圖１所示，三角ABC的面積為１００平方厘米，D、E、F分別為三條邊的四、五、六等分點(diǎn)。求三角形DEF的面積。

（附圖 {圖}）

（１）

分析解答：根據(jù)題中的已知條件我們可推想，所求面積與已知面積之間存在著一種倍分關(guān)系，因?yàn)椤皟扇?角形如等高，則其面積之比等于相對應(yīng)底邊長的比”。所以，我們來“創(chuàng)造”這樣的三角形來幫助解答。連接 BD，由于AF＝５／６AB，所以三角形AFD的面積占三角形ABD面積的５／６，而三角形ABD的面積又剛好是三角形 ABC面積的１／４（因?yàn)锳D＝１／４AC），所以，三角形AFD的面積占三角形ABC面積的分率為１／４×５／６＝５／２４。同理，三角形FBE和三角形ECD所占分率分別為４／５×１／６＝２／１５，３／４×１／５＝３／２０。因此，所求三角形DEF面積所占的分率為１－５／２４－２／１５－３／２０＝６１／１２０，其面積為１００×６１／１２０＝５０．８（平方厘米）。

字母代換法

有些問題直接用算術(shù)方法解答不方便，我們可以設(shè)字母來代換。這些字母可以是所求量，也可以是中間量，它們有時(shí)只起媒介作用，在求解過程中，作為一個(gè)整體或一個(gè)數(shù)參加運(yùn)算，在計(jì)算中互相抵銷或被替代。有時(shí)卻需要通過比較、代換等簡單代數(shù)運(yùn)算求出它們所代表的數(shù)值后再尋求問題的答案。

例２．用一條長７５分米的鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形的框架，要求它的兩條高分別為１４分米、１６分米（如圖２所示），這個(gè)平行四邊形的面積是多少？

（附圖 {圖}）

（２）分析解答：條件中告訴了兩條高的長度。因?yàn)樵谕黄叫兴倪呅沃�，由于面積一定，由“平行四 邊形面積＝底×該底邊上的高”可看出：高與對應(yīng)的底邊成反比例關(guān)系，所以可以用設(shè)字母等量代換的方法進(jìn) 行解答。設(shè)與兩條高相對應(yīng)的底邊分別長a分米和b分米，面積為S平方分米，可得a×１４＝b×１６＝S，a＝S ／１４，b＝S／１６而“a＋b”為周長的一半，等于７５／２分米，所以有S／１４＋S／１６＝７５／２，即 S×（１／１４＋１／１６）＝７５／２；因此，所求平行四邊形的面積為：

（附圖 {圖}）

極端處置法

一般來說，任何事物既遵循某種規(guī)律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性規(guī)律。在解答有些問題時(shí)，我們可以用變化的觀點(diǎn)將圖形設(shè)想于某一特殊情形來考慮，這樣，往往能絕處逢生，找到解題途徑。

例３．邊長分別為４和３的兩個(gè)正方形，如

（附圖 {圖}）

（３）

分析解答：此題是求兩個(gè)正方形未重疊部分的面積之差是多少。從圖中可看出，空白部分可大可小，直接計(jì)算很難解答。如果我們這樣想：當(dāng)這兩個(gè)正方

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