自一道高考題的啟示
2004年全國高考湖南卷(理工類)第21題如下:
如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P(0,m),(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。
(1) 設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ,證明:
經(jīng)審題,我們不難發(fā)現(xiàn)本題已將向量知識融進(jìn)解析幾何題目,給了我們一個(gè)重要的啟示:伴隨著新教材的使用,在解決相關(guān)的解析幾何題目時(shí),我們可以適時(shí)考慮引入向量思想,尤其是在審題時(shí),只要及時(shí)捕捉共線與垂直信息,就可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則處理相關(guān)問題。并能在解題過程中體驗(yàn)向量的神奇作用,感悟數(shù)學(xué)解題過程中的美妙意境。
本題解法:
設(shè)直線方程為y=kx+m帶入拋物線方程x2=4y,得
x-4kx-4m=0 ①
又設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)
P
由題意可知:P分有向線段所成的比為λ。[1] [2] [3] [4]