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參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用

時間:2023-04-30 11:10:30 數(shù)學論文 我要投稿
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參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用

 參數(shù)方程在解析幾何中是一個十分重要的內(nèi)容,而且是高中數(shù)學的一個難點。近幾年來高考對參數(shù)方程和極坐標的要求稍有降低,但是,可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)系緊密。本文以具體的例子闡述參數(shù)方程的廣泛應(yīng)用。

  一、探求幾何最值問題

  有時在求多元函數(shù)的幾何最值有困難,我們不妨采用參數(shù)方程進行轉(zhuǎn)化,化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。

  例1(1984年考題) 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c,且c=10,,P為△ABC的內(nèi)切圓的動點,求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

  解 由,運用正弦定理,可得:

  ∵sinA·cosA=sinB·cosB

  ∴sin2A=sin2B

  由A≠B,可得2A=π-2B。

  ∴A+B=,則△ABC為直角三角形。

  又C=10,,可得:

  a=6,b=8,r=2

  如圖建立坐標系,則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

  所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα),從而=80-8cosα

  因0≤α<2π,所以

  例2 過拋物線 (t為參數(shù),p>0)的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點,設(shè)0<θ<π,當θ取什么值時,|AB|取最小值。

  解 拋物線 (t為參數(shù))

的普通方程為=2px,其焦點為。

  設(shè)直線l的參數(shù)方程為:

  。é葹閰(shù))

代入拋物線方程=2px得:

  又∵0<θ<π

  ∴當θ=時,|AB|取最小值2p。

  二、解析幾何中證明型問題

  運用直線和圓的標準形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,能簡捷地解決有關(guān)與過定點的直線上的動點到定點的距離有關(guān)的問題。

  例3 在雙曲線中,右準線與x軸交于A,過A作直線與雙曲線交于B、C兩點,過右焦點F作AC的平行線,與雙曲線交于M、N兩點,求證:|FM|·|FN|=·|AB|·|AC|(e為離心率)。

  證明 設(shè)F點坐標為(c,0),

  A點坐標為(,0)。

又,設(shè)AC的傾角為α,則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為:

  將①、②代入雙曲線方程,化簡得:

 同理,將③、④代入雙曲線方程整理得:

  |FM|·|FN|=

∴|FM|·|FN|=|AB|·|AC|。

雙曲線的一條準線與實軸交于P點,過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點,又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點,求證:|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。

  證明 由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α,則直線AB

的參數(shù)方程為

  。╰為參數(shù))

代入,可得:

據(jù)題設(shè)得直線CD方程為。╰為參數(shù))

代入,得:,從而得,

即得|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。

  三、探求解析幾何定值型問題

  在解析幾何中點的坐標為(x,y),有二個變元,若用參數(shù)方程則只有一個變元,則對于有定值和最值時,參數(shù)法顯然比較簡單。

  例5 從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線,求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

  解 化方程為參數(shù)方程:

  。é葹閰(shù))

  設(shè)P為橢圓上任一點,則P(3cosθ,2sinθ)。

  于是,直線BP的方程為:

  直線的方程為:

  令y=0代入BP,的方程,分別得它們在x軸上的截距為和。

  故截距之積為:()·()=9。

  四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題

  例6 如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點,試求m、n滿足

的條件。

  分析 如果本題采用常規(guī)的代入消元法,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解,極易導致錯誤,而且很難發(fā)現(xiàn)其錯誤產(chǎn)生的

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