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中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的開放題
在較長一段時期中,“問題解決”成為我國數(shù)學(xué)教育(www.35d1.com-上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng))界的重要議題,現(xiàn)在把議題轉(zhuǎn)移到開放題上來,可以認(rèn)為是“問題解決”研究的進(jìn)一步深入,本文擬對開放題的含義以及怎樣在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中引入開放題的問題作初步探討。一、什么是開放題
在對開放題的討論中,對于什么是開放題,大家的意見尚不一致,因而有必要對開放題的含義作一個規(guī)定。此外,有的同仁把某些探索性問題也歸入開放題,雖然對探索題的研究具有公認(rèn)的意義,但在討論與研究開放題的時候,有必要把這兩者加以區(qū)別。
以下是一些學(xué)者關(guān)于什么是開放題的論述:
(1)答案不固定或者條件不完備的習(xí)題,我們稱為開放題;
(2)開放性題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題;
(3)有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問題的機(jī)會,在解題過程中,學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合,去發(fā)現(xiàn)新的思想方法;
(4)答案不唯一的問題是開放性的問題;
(5)具有多種不同的解法,或有多種可能的解答的問題,稱之為開放性問題;
(6)問題不必有解,答案不必唯一,條件可以多余。
考察以上論述,關(guān)于開放題的條件的描述有:不完備;可以多余;多余需選擇,不足需補(bǔ)充;等等。關(guān)于開放題的答案(結(jié)論、解法)的描述有:不固定;有多種;不唯一;不必唯一;不確定;不必有解;等等。
從上可知,雖然對問題條件的描述多種多樣,但對答案的看法比較一致:答案不唯一。筆者認(rèn)為:(1)問題的“結(jié)論”是在問題系統(tǒng)內(nèi)部相對于問題的“條件”而言的,不能與問題的“答案”概念混淆,問題的“答案(解法)”是相對于整個問題而言的;(2)對于問題的條件不作太多的限定,對問題的答案給以寬松的環(huán)境,但要求是多樣化的,豐富多彩的,這正是開放的含義所在。所以,筆者認(rèn)為對開放題可以作出以下簡明的描述:答案不唯一的問題稱為開放題。開放題的一個顯著特征是:答案的多樣性(多層次性)。
一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學(xué)生的知識水平如何。例如,對n個人兩兩握手共握多少次的問題,在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識以前解法很多,是一個開放題,在學(xué)習(xí)組合知識之后則是一個封閉題。此外,對一個開放題來說,解決問題的方法的種數(shù)和解決問題的思維水平層次是兩個基本的指標(biāo)。因而,可以引入問題的開放度(OpeningDegree)概念:OD(相對于知識的時機(jī),方法≥x,水平≥y)。上面,“相對于知識的時機(jī)”是我們對這個問題的一個注解,說明我們何時用這個問題,可指明是在學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識內(nèi)容之前,還是學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識內(nèi)容之后,或者是在某一個學(xué)習(xí)階段,例如在初中一年級、整個高中階段等;“方法≥x”是對解決問題的方法種數(shù)的描述;“水平≥y”是對解決問題的思維水平層次的描述。
在一些討論中常常把開放題與探索題混同起來,可能會對開放題的研究帶來影響,有必要把兩者予以區(qū)別。一般地,探索題是指條件完備,結(jié)論未給出而需要學(xué)生進(jìn)行探索,猜想并加以證明的問題。當(dāng)然,開放題集合與探索題集合的交集應(yīng)該是非空的。
二、教科書中的開放題
教科書是教師組織教學(xué),學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)。教科書中引入開放題,將對教學(xué)產(chǎn)生較大影響,并有力地加快在教學(xué)中引入開放題的進(jìn)程。在由我室編寫的《九年義務(wù)教育(www.35d1.com-上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng))三年制初級中學(xué)教科書》、《義務(wù)教育(www.35d1.com-上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng))初中數(shù)學(xué)實驗課本》、《高級
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