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巧設(shè)單位“1”解答行程難題 論文
(吳乃華 湖北仙桃市通?谛W(xué))
解答行程問(wèn)題,一般都要有路程、速度、時(shí)間三種量中的任意兩個(gè)量。但是,在一類(lèi)競(jìng)賽題中,往往只有 時(shí)間這一種量,根本不明示兩個(gè)運(yùn)動(dòng)體的相向相遇,或者同向追及是在多少路程中發(fā)生的,因此,給解題增加 了一定的難度。
如果在解答的過(guò)程中,能根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)卦O(shè)某段路程為單位“1”,以此為尺子,來(lái)度量?jī)蓚(gè)或幾個(gè)運(yùn)動(dòng) 體在不同的時(shí)間內(nèi),所行駛的路程的長(zhǎng)短,這樣,就能使數(shù)量關(guān)系明朗化,就能駕輕就熟,將問(wèn)題化難為易。
例1 甲、乙、丙三人各以一定的速度,從A地到B地,丙出發(fā)5分鐘后乙才出發(fā),乙用25分鐘追上丙 ;甲又比乙晚出發(fā)5分鐘,經(jīng)過(guò)40分鐘才追上丙。甲出發(fā)后,需用多少分鐘才能追上乙?
解 設(shè)乙追上丙所走的這段路程為單位“1”,則 乙每分鐘能行這段路程的1/25;丙每分鐘能行這 段路程的1/(25+5)=1/30;
根據(jù)“丙出發(fā)5分鐘后乙才出發(fā)”、“甲又比乙晚出發(fā)5分鐘”,則甲比丙晚出發(fā)10分鐘。因此,當(dāng)甲 出發(fā)時(shí),丙已行駛了這段路程的1/30×10=1/3。甲追上丙,比丙多行了這段路程的1/3,花了4 0分鐘。根據(jù)追及問(wèn)題的關(guān)系式,可知甲比丙每分鐘多行這段路程的1/3÷40=1/120。因此,
甲每分鐘能行這段路程的1/30×(5+5)÷40+1/30=1/24。
通過(guò)所設(shè)的乙追上丙所走的這段路程為單位“1”,已推出了甲和乙速度之間的關(guān)系,因而甲追上乙所需 的時(shí)間就可知是
(1/25)×5÷(1/24-1/25)=120(分)
例2 某人沿公路騎自行車(chē)勻速前進(jìn)。他發(fā)現(xiàn)這一公路上的公共汽車(chē),每隔20分鐘就有一輛車(chē)超過(guò)他, 每隔12分鐘就有一輛車(chē)和他迎面相遇。如果這路車(chē)的兩個(gè)車(chē)站,都以間隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車(chē),那么,每隔 多少分鐘發(fā)一輛車(chē)?
解 由于兩個(gè)車(chē)站都是以間隔相同的時(shí)間發(fā)車(chē),所以在這兩個(gè)車(chē)站間的這段公路上,不論是什么時(shí)刻,同 向行駛的所有車(chē)輛,兩車(chē)間的距離都是相等的。如果把這兩車(chē)間的間距設(shè)為單位“1”。題中“每隔20分鐘 就有一輛車(chē)超過(guò)他”,即自行車(chē)和汽車(chē)同向前進(jìn),汽車(chē)比自行車(chē)多行一個(gè)“間距”,需20分鐘,也就是每分 鐘汽車(chē)比自行車(chē)多行“間距”的1/20(速度差);“每隔12分鐘就有一輛車(chē)和他迎面相遇”,同樣可知 ,自行車(chē)和汽車(chē)在一分鐘內(nèi),能共行“間距”的1/12(速度和)。
已知自行車(chē)和汽車(chē)在1分鐘內(nèi)的速度的“和”與“差”,由和差問(wèn)題的關(guān)系式,可知汽車(chē)每分鐘能行“間 距”的(1/20+1/12)÷2=1/15。
因此,這路車(chē)發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間為
1÷〔(1/20+1/15)÷2〕=15(分)
例3 甲騎自行車(chē)到城里去辦事,走后,乙發(fā)現(xiàn)他忘了一物,立即騎摩托車(chē)去追,乙追了15分鐘還沒(méi)追 上,連忙問(wèn)路旁的人,路旁的人回答說(shuō):“甲在20分鐘前經(jīng)過(guò)這里。”乙看看手表,這時(shí)離甲出發(fā)時(shí)間一小 時(shí)。乙需再行幾分鐘就能追上甲?
解 “乙追了15分鐘還沒(méi)追上”,如果把乙追甲這15分鐘所行的這段路程看作單位“1”,那么乙每 分鐘可行這段路程的1/15。由題中條件可知,甲已出發(fā)一小時(shí),并在20分鐘前經(jīng)過(guò)這里,說(shuō)明甲走這段 路程花了60-20=40(分)鐘,可知,甲每分鐘能行這段路程的1/40,并且還可以推知,當(dāng)乙詢問(wèn) 路旁人時(shí),乙還距甲的路程是這段路程(單位“1”)的1/40×20=1/2,根據(jù)追及問(wèn)題的關(guān)系式, 可以求得乙還需多少分鐘才能追上甲,因此,本題的綜合算式是:
1/(60-20)×20÷〔1/15-1/(60-20)〕=12(分)
這類(lèi)題,單位“1
[1] [2]
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