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構造組合模型巧證組合恒等式 論文

時間:2023-04-30 09:41:22 數(shù)學論文 我要投稿
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構造組合模型巧證組合恒等式 論文

   

證明組合恒等式,一般是利用組合數(shù)的性質、數(shù)學歸納法、二項式定理等,通過一些適當?shù)挠嬎慊蚧唩硗瓿桑,很多組合恒等式,也可直接利用組合數(shù)的意義來證明.即構造一個組合問題的模型,把等式兩邊看成同一組問題的兩種計算方法,由解的唯一性,即可證明組合恒等式.

構造組合模型巧證組合恒等式 論文

例1證明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.

分析:原式左端為m個元素中。顐的組合數(shù).原式右端可看成是同一問題的另一種算法:把滿足條件的組合分為兩類,一類為不取某個元素a1,有Cnm-1種取法.一類為必。幔庇校茫睿保恚狈N取法.由加法原理可知原式成立.

例2證明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.

分析:原式左端可看成一個班有m個人,從中選出n個人打掃衛(wèi)生,在選出的n個人中,p人打掃教室,余下的n-p人打掃環(huán)境衛(wèi)生的選法數(shù).原式右端可看成直接在m人中選出p人打掃教室,在余下的m-p人中再選出n-p人打掃環(huán)境衛(wèi)生.顯然,兩種算法計算的是同一個問題,結果當然是一致的.

以上兩例雖然簡單,但它揭示了用組合數(shù)的意義證明組合恒等式的一般思路:先由恒等式中意義比較明顯的一邊構造一個組合問題的模型,再根據(jù)加法原理或乘法原理對另一邊進行分析.若是幾個數(shù)(組合數(shù))相加的形式,可以把構造的組合問題進行適當分類,如例1,若是幾個數(shù)(組合數(shù))相乘的形式,則應進行適當?shù)姆植接嬎,如例2,當然,很多情況下是兩者結合使用的.

例3證明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中當p>q時Cpq=0.

證明:原式左邊為m+n個元素中選k個元素的組合數(shù).今將這m+n個元素分成兩組,第一組為m個元素,剩下的n個元素為第二組,把取出的k個元素,按在第一組取出的元素個數(shù)i(i=0,1,2,…,k)進行分類,這一類的取法數(shù)為CimCk-in.于是,在m+n個元素中。雮元素的取法數(shù)又可寫成?ki=0CimCk-in.故原式成立.

例4證明

Cnn+Cnn+1+Cnn+2+…+Cnn+m=Cn+1n+m+1.

證明:原式右邊為m+n+1個元素中。睿眰,元素的組合數(shù),不失一般性,可以認為是在1,2,3,…,m+n,m+n+1,共m+n+1個數(shù)中取n+1個數(shù).將取出的n+1個數(shù)a1,a2…,an+1由小到大排列,即設a1<a2<an+1,按取出的最大數(shù)an+1=k+1分類,顯然k=n,n+1,…,n+m.當k=n+i時(i=0,1,2,…,m),這一類取法數(shù)為Cnn+i,所以取法總數(shù)又等于?mi=0Cnn+i.原式成立.

對于某些組合恒等式,有時其左右兩邊所表示的意義都不易看出,但是如果根據(jù)組合數(shù)的特點仔細分析,或對原式進行一些適當?shù)淖冃,往往可以巧妙地構造一個組合問題做為模型,證明就可化難為易.

例5證明C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1.

分析:注意,原式左端等價于C11C1n+C12C2n+…+C1n

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