應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性

　　本文通過(guò)具體的解題案例，探討應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性．

　?1　原型與模式——應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性

　?這是一道很普通的應(yīng)用題（有“雞兔同籠”的背景），但涉及一些觀念層面上的道理，在與大學(xué)生和中學(xué)教師的交談中，大都表示沒(méi)有認(rèn)真思考過(guò)．先看題目：

　?例1　某運(yùn)貨公司有兩種車型共28輛，Ａ型車可載重5噸，Ｂ型車可載重4噸，如果各車滿載一次可送貨128噸，問(wèn)兩種車型各有幾輛．

　?1．1　從常規(guī)求解過(guò)程中提出問(wèn)題

　?用二元一次方程來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題，是一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模過(guò)程．通常設(shè)Ａ型車有ｘ輛，Ｂ型車有ｙ輛，根據(jù)“兩種車型共28輛”所提供的等量關(guān)系，可得方程

　?ｘ＋ｙ＝28．　　　　�、�

　?再根據(jù)“Ａ型車可載重5噸，Ｂ型車可載重4噸”，“各車滿載一次可送貨128噸”所提供的等量關(guān)系，又得方程

　?5ｘ＋4ｙ＝128．　　　②

　?然后，將①式兩邊乘以4，得

　?4ｘ＋4ｙ＝112．　　�、�

　?②－③，得ｘ＝16．　�、�

　?代入①，得ｙ＝12．　�、�

　?故Ａ型車有16輛，Ｂ型車有12輛．

　?還可用5×①－②先求ｙ等多種方式來(lái)解方程組，總之，有初中的代數(shù)知識(shí)就不難完成．筆者詢問(wèn)大學(xué)生或中學(xué)教師對(duì)此能提出什么疑問(wèn)時(shí)，均認(rèn)為很完整了，提不出什么問(wèn)題來(lái)．于是，筆者提出兩個(gè)問(wèn)題，并聲明沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，以鼓勵(lì)暢所欲言．

　?問(wèn)題1　方程①反映的是車輛總數(shù)的一個(gè)平衡式，方程②反映的是車輛一次滿運(yùn)貨總噸數(shù)的一個(gè)平衡式，兩者建立時(shí)的單位是不一致的，如何理解它們之間的加減運(yùn)算?

　?問(wèn)題2　作為解題過(guò)程的分析，如何給每個(gè)運(yùn)算步驟一個(gè)生活現(xiàn)實(shí)的解釋?

　?對(duì)第1個(gè)問(wèn)題，被詢問(wèn)者大都感到意外，表示從未思考過(guò)；對(duì)第2個(gè)問(wèn)題，則結(jié)合第1個(gè)問(wèn)題，統(tǒng)一單位，有信心提出一些解釋．

　?1．2　給求解過(guò)程一個(gè)生活解釋

　?給解方程的消元過(guò)程一個(gè)生活解釋，可以理解為“出聲思維”的一種形式，它能使抽象的模式具體化，能使形式化的運(yùn)算有生活化的氣息．

　?（1）有的被詢問(wèn)者說(shuō)，可以認(rèn)為方程①中的每輛車都裝了1噸貨物，這樣兩方程的單位就一致了．對(duì)此，筆者又提出一個(gè)問(wèn)題．

　?問(wèn)題3　如果ｘ、ｙ都看成ｘ噸、ｙ噸，其和為28噸，那么，求出ｘ＝16，ｙ＝12后，為什么又成為16輛Ａ型車，12輛Ｂ型車呢?

　?對(duì)此，被詢問(wèn)者不能馬上給出回答．

　?（2）關(guān)于問(wèn)題2，通過(guò)交流提出了這樣的解釋：

　?1）假設(shè)每輛車都裝4噸，那么28輛車便可裝112噸，這就是4×①得③式；

　?2）但Ａ型車每輛可裝5噸，比假設(shè)的裝4噸還多1噸，因而真實(shí)裝車的128噸（見(jiàn)②式）減去假設(shè)的112噸（見(jiàn)③式），所得多裝的16噸數(shù)字，恰好對(duì)應(yīng)著Ａ型車的輛數(shù)，這就是②－③得出④式．

　?這個(gè)解釋首先是用“噸”來(lái)統(tǒng)一兩個(gè)方程的單位，然后用“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)回答問(wèn)題3：由于每輛Ａ型車可裝5噸，比假設(shè)各車裝4噸還多1噸，在運(yùn)算�、冢�4×①之后，對(duì)Ａ型車而言，1噸對(duì)應(yīng)著1輛車，1輛車對(duì)應(yīng)著1噸，于是16噸就對(duì)應(yīng)著16輛Ａ型車．

　?上述解釋，實(shí)際上已給出了本題的一個(gè)算術(shù)解法：

　?Ａ型車數(shù)＝128－4×28．　　�、�

　?同理，對(duì)方程組進(jìn)行5×①－②運(yùn)算，可得

　?Ｂ型車數(shù)＝5×28－128．　　�、�

　?把例1中的數(shù)字換成字母，則⑥、⑦便給出了問(wèn)題的求解公式．

　?1．3　從求解過(guò)程看方程模型的二重性

　?上面，將兩方程的單位統(tǒng)一為“噸”給出了一種解釋；讀者也可以將5ｘ看成Ａ型車的5倍，將4ｙ看成Ｂ型車的4倍，把單位統(tǒng)一為車的“輛”數(shù)，給出解釋；或者還可以對(duì)加減消元給出更多的生活解釋．這是一個(gè)開(kāi)放性、發(fā)散性的問(wèn)題，值得在解題訓(xùn)練中提倡．

　?但是，這種訓(xùn)練主要體現(xiàn)了方程模型①、②等的一個(gè)側(cè)面——與生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系．其實(shí)

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