應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性
本文通過(guò)具體的解題案例,探討應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性.
?1 原型與模式——應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性
?這是一道很普通的應(yīng)用題(有“雞兔同籠”的背景),但涉及一些觀念層面上的道理,在與大學(xué)生和中學(xué)教師的交談中,大都表示沒(méi)有認(rèn)真思考過(guò).先看題目:
?例1 某運(yùn)貨公司有兩種車型共28輛,A型車可載重5噸,B型車可載重4噸,如果各車滿載一次可送貨128噸,問(wèn)兩種車型各有幾輛.
?1.1 從常規(guī)求解過(guò)程中提出問(wèn)題
?用二元一次方程來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題,是一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.通常設(shè)A型車有x輛,B型車有y輛,根據(jù)“兩種車型共28輛”所提供的等量關(guān)系,可得方程
?x+y=28. 、
?再根據(jù)“A型車可載重5噸,B型車可載重4噸”,“各車滿載一次可送貨128噸”所提供的等量關(guān)系,又得方程
?5x+4y=128. ②
?然后,將①式兩邊乘以4,得
?4x+4y=112. 、
?②-③,得x=16. 、
?代入①,得y=12. 、
?故A型車有16輛,B型車有12輛.
?還可用5×①-②先求y等多種方式來(lái)解方程組,總之,有初中的代數(shù)知識(shí)就不難完成.筆者詢問(wèn)大學(xué)生或中學(xué)教師對(duì)此能提出什么疑問(wèn)時(shí),均認(rèn)為很完整了,提不出什么問(wèn)題來(lái).于是,筆者提出兩個(gè)問(wèn)題,并聲明沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案,以鼓勵(lì)暢所欲言.
?問(wèn)題1 方程①反映的是車輛總數(shù)的一個(gè)平衡式,方程②反映的是車輛一次滿運(yùn)貨總噸數(shù)的一個(gè)平衡式,兩者建立時(shí)的單位是不一致的,如何理解它們之間的加減運(yùn)算?
?問(wèn)題2 作為解題過(guò)程的分析,如何給每個(gè)運(yùn)算步驟一個(gè)生活現(xiàn)實(shí)的解釋?
?對(duì)第1個(gè)問(wèn)題,被詢問(wèn)者大都感到意外,表示從未思考過(guò);對(duì)第2個(gè)問(wèn)題,則結(jié)合第1個(gè)問(wèn)題,統(tǒng)一單位,有信心提出一些解釋.
?1.2 給求解過(guò)程一個(gè)生活解釋
?給解方程的消元過(guò)程一個(gè)生活解釋,可以理解為“出聲思維”的一種形式,它能使抽象的模式具體化,能使形式化的運(yùn)算有生活化的氣息.
?(1)有的被詢問(wèn)者說(shuō),可以認(rèn)為方程①中的每輛車都裝了1噸貨物,這樣兩方程的單位就一致了.對(duì)此,筆者又提出一個(gè)問(wèn)題.
?問(wèn)題3 如果x、y都看成x噸、y噸,其和為28噸,那么,求出x=16,y=12后,為什么又成為16輛A型車,12輛B型車呢?
?對(duì)此,被詢問(wèn)者不能馬上給出回答.
?(2)關(guān)于問(wèn)題2,通過(guò)交流提出了這樣的解釋:
?1)假設(shè)每輛車都裝4噸,那么28輛車便可裝112噸,這就是4×①得③式;
?2)但A型車每輛可裝5噸,比假設(shè)的裝4噸還多1噸,因而真實(shí)裝車的128噸(見(jiàn)②式)減去假設(shè)的112噸(見(jiàn)③式),所得多裝的16噸數(shù)字,恰好對(duì)應(yīng)著A型車的輛數(shù),這就是②-③得出④式.
?這個(gè)解釋首先是用“噸”來(lái)統(tǒng)一兩個(gè)方程的單位,然后用“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)回答問(wèn)題3:由于每輛A型車可裝5噸,比假設(shè)各車裝4噸還多1噸,在運(yùn)算、冢4×①之后,對(duì)A型車而言,1噸對(duì)應(yīng)著1輛車,1輛車對(duì)應(yīng)著1噸,于是16噸就對(duì)應(yīng)著16輛A型車.
?上述解釋,實(shí)際上已給出了本題的一個(gè)算術(shù)解法:
?A型車數(shù)=128-4×28. 、
?同理,對(duì)方程組進(jìn)行5×①-②運(yùn)算,可得
?B型車數(shù)=5×28-128. 、
?把例1中的數(shù)字換成字母,則⑥、⑦便給出了問(wèn)題的求解公式.
?1.3 從求解過(guò)程看方程模型的二重性
?上面,將兩方程的單位統(tǒng)一為“噸”給出了一種解釋;讀者也可以將5x看成A型車的5倍,將4y看成B型車的4倍,把單位統(tǒng)一為車的“輛”數(shù),給出解釋;或者還可以對(duì)加減消元給出更多的生活解釋.這是一個(gè)開(kāi)放性、發(fā)散性的問(wèn)題,值得在解題訓(xùn)練中提倡.
?但是,這種訓(xùn)練主要體現(xiàn)了方程模型①、②等的一個(gè)側(cè)面——與生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系.其實(shí)
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