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不確定理論教學(xué)中學(xué)生科研能力的培養(yǎng)論文
【摘要】如何培養(yǎng)學(xué)生的科研能力,是當(dāng)前高校教學(xué)改革所面臨的重要問(wèn)題。本文基于不確定理論教學(xué)和科研的實(shí)踐,闡述了課堂教學(xué)過(guò)程中,如何結(jié)合講授的基本內(nèi)容,逐步讓學(xué)生了解科學(xué)研究過(guò)程中的基本方法,以達(dá)到提高科研能力的目的。
【關(guān)鍵詞】不確定理論概率論可信性理論公理化方法類比方法
一、不確定理論簡(jiǎn)介
在運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)、信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)及工程等領(lǐng)域存在諸多客觀或人為的不確定性,如隨機(jī)性、模糊性等。隨著社會(huì)的發(fā)展和人們對(duì)改造自然要求的提高,在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),必然也會(huì)遇到某些不確定因素的出現(xiàn)。人們用科學(xué)的方法研究不確定信息是從研究隨機(jī)現(xiàn)象開(kāi)始的。到現(xiàn)在為止,研究隨機(jī)現(xiàn)象的理論,即概率論已經(jīng)發(fā)展為處理此類不確定性的強(qiáng)大理論工具,并在許多問(wèn)題的解決過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用。
模糊集的概念是上世紀(jì)六十年代由Zadeh[4]首次提出的,到現(xiàn)在為止,模糊集理論已經(jīng)發(fā)展成處理模糊信息的重要方法,它的理論也越來(lái)越受到人們的青睞。長(zhǎng)期以來(lái),由于人們應(yīng)用隸屬度函數(shù)描述模糊集合,而隸屬度函數(shù)的選取具有很大的主觀性,故大部分學(xué)者認(rèn)為模糊集是經(jīng)驗(yàn)的集合,缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。實(shí)際上,人們之所以對(duì)模糊集理論存在片面的理解,主要原因是模糊集理論本身沒(méi)有形成一個(gè)完整的理論體系。盡管Nahmias[3]定義了可能性空間和模糊變量的概念,并試圖建立模糊集理論的公理體系,但由于公理基礎(chǔ)不完善,以致于隨后的理論框架一直沒(méi)有很好的搭建起來(lái)。直到最近Liu[1][2]在Nahmias可能性空間的三條公理的基礎(chǔ)上,又提出了可能性空間的第四條公理,并成功的建立了模糊集的公理體系:可信性理論。
我們知道,現(xiàn)實(shí)世界是不確定的,而不確定現(xiàn)象的發(fā)生也具有不確定性。某些時(shí)候會(huì)出現(xiàn)雙重或多重不確定性同時(shí)發(fā)生的現(xiàn)象,一種典型的情況就是隨機(jī)性和模糊性同時(shí)發(fā)生。例如,在測(cè)量湖水深度時(shí),一般的測(cè)量方法是隨機(jī)的在湖中選取一點(diǎn),測(cè)量的結(jié)果可能為“很深”、“較深”、“大約5米”等比較模糊的數(shù)據(jù)。實(shí)際上,這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生既涉及隨機(jī)性,也伴有模糊性,顯然若想單獨(dú)用概率論或模糊集理論來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題就顯得力不從心。雙重不確定性問(wèn)題的出現(xiàn),促使了模糊隨機(jī)理論和隨機(jī)模糊理論的發(fā)展。[1][2]
總的來(lái)說(shuō),作為數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支,不確定理論是研究不確定現(xiàn)象及其內(nèi)在規(guī)律的學(xué)科,是概率論、可信性理論、隨機(jī)模糊理論和模糊隨機(jī)理論的統(tǒng)稱。
二、不確定理論教學(xué)中學(xué)生科研能力培養(yǎng)的必要性
近年來(lái),隨著不確定理論的逐步發(fā)展及其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大,很多高校逐漸意識(shí)到為高年級(jí)學(xué)生和研究生開(kāi)設(shè)該類課程的必要性。一些關(guān)于不確定理論的課程,如概率論、模糊集理論、可信性理論的課程相繼開(kāi)設(shè)。但在教學(xué)的過(guò)程中,由于一些教師對(duì)不確定理論的了解和研究不夠深入,因此往往忽略了對(duì)不確定理論發(fā)展和研究方法的介紹,不能有效的培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和創(chuàng)新思想。雖然學(xué)生通過(guò)系統(tǒng)學(xué)習(xí)能夠掌握教科書(shū)上相關(guān)的理論知識(shí)和應(yīng)用方法,但書(shū)本知識(shí)畢竟是過(guò)去研究結(jié)果的總結(jié),對(duì)學(xué)科的前沿不能有系統(tǒng)的掌握。
實(shí)際上,不確定理論課程中的一些學(xué)科,如可信性理論、模糊隨機(jī)理論,都是近年來(lái)才開(kāi)始逐步發(fā)展完善的,因此在充分了解發(fā)展過(guò)程和領(lǐng)域前沿的基礎(chǔ)上,向?qū)W生介紹重要結(jié)論的由來(lái)和科研方法是十分必要的。這對(duì)于擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面,增加其學(xué)習(xí)積累,培養(yǎng)其學(xué)術(shù)思維具有重要的作用。鑒于此,我們通過(guò)多年的教學(xué)和科研實(shí)踐,逐步探索將學(xué)生科研能力的培養(yǎng)納入課堂教學(xué)中,使學(xué)生通過(guò)對(duì)不確定理論的學(xué)習(xí)逐步掌握一般的科研方法和技巧,為將來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深造打下良好的基礎(chǔ)。
三、不確定理論課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科研方法的嘗試
對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō),在課堂教學(xué)中講授相關(guān)知識(shí)的同時(shí),最重要的是向他們傳授相關(guān)的科研方法,以打破科研神秘感,培養(yǎng)他們的科研興趣。在不確定理論實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中,可以向?qū)W生介紹兩類科研方法的應(yīng)用,即公理化方法和類比方法。
1.公理化方法:公理化方法是建立數(shù)學(xué)體系的主要方法之一。它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和某些自然科學(xué)產(chǎn)生了重要的影響。公理化的趨勢(shì)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)區(qū)別于以往數(shù)學(xué)的重要特征之一。它在公理基礎(chǔ)上將其它所有概念、命題組成嚴(yán)密的邏輯體系,從而條理清楚、簡(jiǎn)明扼要,使人們便于學(xué)習(xí)、繼承和應(yīng)用。[5][6]所以,一門(mén)數(shù)學(xué)如果公理化了,則被認(rèn)為是成熟的學(xué)科。建立在公理基礎(chǔ)上的學(xué)科一定是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,在發(fā)展過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)悖論。在介紹公理化方法的時(shí)候,一定要先以淺顯易懂的實(shí)例告訴學(xué)生什么是公理基礎(chǔ)及其作用。例如,初中學(xué)習(xí)的平面幾何就是建立在公理基礎(chǔ)上的,其中涉及的公理包括平行直線永不相交、同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等。通過(guò)這樣的介紹,學(xué)生首先會(huì)對(duì)公理基礎(chǔ)有一個(gè)較清楚的認(rèn)識(shí),之后對(duì)不確定理論中公理基礎(chǔ)的理解有一個(gè)較好的開(kāi)端。
現(xiàn)代概率論完全是在公理化體系的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,其公理基礎(chǔ)包含三個(gè)方面的內(nèi)容:設(shè)Ω為非空集合,A是由Ω的一些子集構(gòu)成的代數(shù),若非負(fù)集函數(shù)Pr滿足:
公理1:Pr{Ω}=1;
公理2:對(duì)任意B∈A,有Pr{B}≥0;
公理3:對(duì)任意可列互不相交的集合列A,有,則集函數(shù)Pr稱為概率測(cè)度,(Ω,A,
Pr)稱為概率空間。隨機(jī)變量是定義為從概率空間(Ω,A,Pr)到實(shí)數(shù)集合的一個(gè)可測(cè)映射。
在介紹上面公理時(shí),一定要向?qū)W生介紹概率測(cè)度是測(cè)度的一種特殊形式,因此,在概率空間和隨機(jī)變量的概念提出后,人們就可以從測(cè)度論的角度來(lái)研究概率論,從而有力地推動(dòng)了概率論的公理化理論體系的形成。概率論中相關(guān)定理的推導(dǎo)都是基于公理基礎(chǔ)上的,故不會(huì)出現(xiàn)悖論,缺乏了公理基礎(chǔ),悖論不可避免。在概率論的講授過(guò)程中,一定要時(shí)刻以公理為主線,讓學(xué)生體會(huì)到公理化方法在概率論發(fā)展中的重要地位和作用?尚判岳碚摰陌l(fā)展也是基于公理基礎(chǔ)的。它包括如下四條公理:即設(shè)Θ為非空集合,P(Θ)是由Θ的所有子集構(gòu)成集合。若非負(fù)集函數(shù)Pos滿足:
公理1:Pos{Θ}=1;
公理2:Pos{}=0;
公理3:對(duì)任意的集合列{Bi},有Pos{UiBi}=ViPos{Bi},則集函數(shù)Pos稱為可能性測(cè)度,(Θ,P(Θ),Pos)稱為是一個(gè)可能性空間。模糊變量是定義為從可能性空間到實(shí)數(shù)集合的映射。
此外,為了定義乘積可能性空間和乘積可能性測(cè)度,Liu[1][2]提出了可能性理論的第四條公理。設(shè)(Θi,P(Θi),Posi),i=1,2,…n是可能性空間,而Θ=Θ1×Θ2×…×Θn。設(shè)集函數(shù)Pos滿足:
公理4:對(duì)任意B∈P(Θ),有:
此時(shí),記Pos=Pos1∧Pos2∧…∧Posn,則Pos是一個(gè)可能性測(cè)度,從而(Θ,P(Θ),Pos)是一個(gè)可能性空間,稱為是(Θi,P(Θi),Posi),i=1,2,…n的乘積可能性空間。
可信性測(cè)度(Cr)是基于可能性測(cè)度而定義的,即對(duì)任意B∈P(Θ),有Cr{B}=Pos{B}+1-Pos{Bc}。三元組(Θ,P(Θ),Cr)稱為可信性空間?尚判岳碚撌腔谏鲜龉砗涂尚判詡(cè)度的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。它與傳統(tǒng)模糊集理論相比,其優(yōu)勢(shì)在于它是建立在公理化體系基礎(chǔ)之上的,從而可以消除模糊集中的主觀因素,而且不會(huì)出現(xiàn)悖論。
通過(guò)對(duì)不確定理論公理基礎(chǔ)的介紹,不僅可以使學(xué)生了解公理基礎(chǔ)在學(xué)科發(fā)展中的地位和作用,也使他們掌握一項(xiàng)重要的科研方法——公理化方法。
2.類比的方法:類比法是數(shù)學(xué)方法論的基本方法之一,它根據(jù)兩種數(shù)學(xué)對(duì)象之間在某些方面相似或相同,從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤耐评矸椒āK且员容^為基礎(chǔ)的一種從特殊到特殊的推理方法,它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著非常重要的作用。[5、6]從整體而言,可信性理論的迅速發(fā)展得益于類比了概率論的知識(shí)。事實(shí)上,模糊變量、可信性測(cè)度,以及期望值算子的概念都能夠在概率論中找到原型,它們分別對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量、概率測(cè)度,以及隨機(jī)變量的期望值算子。在不確定理論的其他學(xué)科,如模糊隨機(jī)理論和隨機(jī)模糊理論的豐富過(guò)程中,類比的方法仍然起著非常重要的作用。
在教學(xué)過(guò)程中,教師一定要介紹類比方法如何應(yīng)用的。就概率論而言,對(duì)概率測(cè)度的研究極大豐富和發(fā)展了概率論的理論體系。同樣的,要發(fā)展模糊集理論,就必須要研究可能性測(cè)度、必要性測(cè)度和可信性測(cè)度的數(shù)學(xué)性質(zhì)。具體來(lái)說(shuō),如何研究這些測(cè)度的數(shù)學(xué)性質(zhì)呢?要解決這個(gè)問(wèn)題,我們必須要回到概率論,對(duì)照概率測(cè)度的研究方法,研究可能性測(cè)度、必要性測(cè)度以及可信性測(cè)度的數(shù)學(xué)性質(zhì)。這就是類比方法的應(yīng)用。所謂“站在巨人的肩膀上”也就是這個(gè)道理。對(duì)模糊集理論來(lái)講,它的巨人就是概率論,它的發(fā)展也必須參考概率論。例如,概率測(cè)度有一些數(shù)學(xué)性質(zhì):設(shè)(Ω,A,Pr)為一個(gè)概率空間,則有
(1)(自對(duì)偶)對(duì)任意的B∈A,有Pr{B}+Pr{Bc}=1;
。2)(有界性)對(duì)任意的B∈A,有0≤Pr{B}≤1;
。3)(單調(diào)性)對(duì)任意的B
C,有Pr{B}≤Pr{C}。
在可信性理論中,由于可信性測(cè)度對(duì)應(yīng)于概率論中的概率側(cè)度,在研究可信性側(cè)度性質(zhì)時(shí),我們應(yīng)該首先考慮它是否具有與概率側(cè)度相似的性質(zhì)。有了這種想法,經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)也可證明可信性側(cè)度具有自對(duì)偶性、有界性和單調(diào)性。設(shè)(Θ,P(Θ),Cr)是一個(gè)可信性空間,則:
。1)(自對(duì)偶)對(duì)任意的B∈P(Θ),有Cr{B}+Cr{Bc}=1。
。2)(有界性)對(duì)任意的B∈P(Θ),有0≤Cr{B}≤1。
。3)(單調(diào)性)對(duì)任意的B C,有Cr{B}≤Cr{C}。
實(shí)際上,可信性理論的很多結(jié)論都是類比了概率論中的結(jié)論而得到的,再如,概率期望值算子具有線性性質(zhì),我們同樣也可以證明,在某些條件下可信性期望值算子也具有線性性質(zhì)。
在課堂教學(xué)的過(guò)程中,教師一定要注意介紹類比方法的應(yīng)用,它是科學(xué)研究方法論中的一項(xiàng)重要方法。這樣的授課方式不僅能讓學(xué)生在理解概率論的基礎(chǔ)上更加容易理解其他理論,還能讓學(xué)生掌握科研過(guò)程的另一基本方法——類比法。
四、結(jié)束語(yǔ)
在教學(xué)過(guò)程中,除了講授課本上基本理論和基礎(chǔ)知識(shí)外,還應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和科研方法。具體來(lái)說(shuō),就是在課堂教學(xué)過(guò)程中注意用實(shí)例的方式注重科研方法的灌輸,這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的理解,對(duì)于提高他們科研能力和擴(kuò)充知識(shí)面都有很大的幫助,從而達(dá)到教學(xué)的目的。
參考文獻(xiàn)
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