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線性代數(shù)復(fù)習(xí)技巧：打破常規(guī) 主動(dòng)思考
有同學(xué)認(rèn)為：線性代數(shù)不好學(xué)，因?yàn)樗容^抽象，不像高數(shù)可以畫(huà)圖，借助直觀的圖形去理解。難道線性代數(shù)只能抽象地理解嗎?當(dāng)然不是。我與這個(gè)同學(xué)進(jìn)行了討論，很快就發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)讓這個(gè)貌似抽象的家伙接地氣的方式：二維向量不就是中學(xué)咱們常在平面上畫(huà)的箭頭嗎?兩個(gè)二維向量線性相關(guān)，表現(xiàn)在代數(shù)上是對(duì)應(yīng)分量成比例，表現(xiàn)在幾何上不就是平面上的向量平行或共線嗎?矩陣是一張數(shù)表，C語(yǔ)言中定義的二維數(shù)組不就是一個(gè)矩陣嗎?咱們電腦中用的EXCEL，如果在一塊矩形區(qū)域的每個(gè)小格都存了數(shù)字不就是一個(gè)矩陣嗎?多想一步，別有洞天。我們平時(shí)的學(xué)習(xí)是否太拘泥于課本，而忽略了主動(dòng)地思考，進(jìn)而失去了融會(huì)貫通的機(jī)會(huì)呢?
學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。真正的學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)與思的均衡。在這種狀態(tài)下學(xué)習(xí)，不僅能夠做到對(duì)知識(shí)的透徹理解，而且能體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。記得有人說(shuō)過(guò)：真正的學(xué)人應(yīng)該是好奇的、探索的。帶著好奇心，主動(dòng)去探索，就會(huì)有別樣的收獲。
以下僅為個(gè)人的粗淺體會(huì)，拋磚引玉，期待與廣大考生交流切磋。
一、內(nèi)容
1. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為什么是這個(gè)樣子?
盡管二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程考綱有明確要求，但我相信仍不少考生沒(méi)有思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題。他們可能覺(jué)得微分方程會(huì)識(shí)別類(lèi)型，記住解法就行了，沒(méi)必要知道為什么要這樣解。有的老師也給學(xué)生建議：“像背單詞一樣把二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程的解法背下來(lái)”。這樣有個(gè)問(wèn)題：很容易忘。如何對(duì)抗遺忘?思考!多思考，找到知識(shí)之間的聯(lián)系就不容易忘了。如何思考?提問(wèn)是思考的一個(gè)開(kāi)端。拒絕機(jī)械地記憶，能簡(jiǎn)單推導(dǎo)的可以推導(dǎo);不好推導(dǎo)的，可以“理解性地記憶”。比如上面的問(wèn)題，咱們可以把三種形式的解代入微分方程中算算，對(duì)理解，對(duì)記憶都有幫助。
2. 考研數(shù)學(xué)中有不少“推廣”，有多少同學(xué)總結(jié)過(guò)這些嗎：有多少推廣?推廣前后有哪些相同和不同?
(1)一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量
在學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量時(shí)，我們可以先回顧一維隨機(jī)變量的內(nèi)容。那么，關(guān)于一維隨機(jī)變量我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢?
首先是定義，什么是隨機(jī)變量?隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的函數(shù)(與高數(shù)中的函數(shù)不同)。它的作用是把隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果數(shù)量化了，便于用數(shù)學(xué)工具處理。那么什么是二維隨機(jī)變量(多維我們主要考慮二維)?就是把兩個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量放在一起考慮，或者說(shuō)是定義在樣本空間上的向量值函數(shù)。
繼續(xù)回憶：如何描述一個(gè)隨機(jī)變量X?通用的工具是不是分布函數(shù)?分布函數(shù)F(x)是什么?它是概率，是隨機(jī)變量X落入(負(fù)無(wú)窮, x]這個(gè)區(qū)間的概率。那么推廣過(guò)來(lái)，我們要描述一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)，也可以用分布函數(shù)。一維對(duì)應(yīng)著一元函數(shù)F(x)，二維自然對(duì)應(yīng)二元函數(shù)F(x, y);一維分布函數(shù)是X落入一個(gè)區(qū)間的概率，相應(yīng)地二維分布函數(shù)是(X,Y)落入一個(gè)區(qū)域的概率，與(負(fù)無(wú)窮, x]這個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)，這個(gè)區(qū)域是(負(fù)無(wú)窮, x]乘(負(fù)無(wú)窮, y]。
在討論了分布函數(shù)的概念后，我們可以進(jìn)一步討論分布函數(shù)的性質(zhì)。思考一下，一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)有哪些性質(zhì)?“單調(diào)不減”，“0,1之間”和“右連續(xù)”，并且這三條性質(zhì)合起來(lái)是一個(gè)函數(shù)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件。那么推廣一下，不難得到二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)，有需要注意的地方嗎?第一條和第三條性質(zhì)需要加上“關(guān)于x”(或者“關(guān)于y”)�！瓣P(guān)于”是什么意思?就是把另一個(gè)變量固定，再考慮問(wèn)題。第二條性質(zhì)推廣前的部分內(nèi)容是F(正無(wú)窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮)=0，推廣之后變?yōu)镕(正無(wú)窮,正無(wú)窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮，y)=0，F(xiàn)(x,負(fù)無(wú)窮)=0，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮,負(fù)無(wú)窮)=0。為什么會(huì)這樣?關(guān)鍵在F(x, y)中那個(gè)逗號(hào)，是“且”的意思。還有一條性質(zhì)可以結(jié)合圖形來(lái)理解，考得不多。當(dāng)然二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的這幾條性質(zhì)是否是充要條件?這點(diǎn)考研不要求。
我們知道，描述一維隨機(jī)變量，除了分布函數(shù)外，還有分布律和概率密度。它們是與離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的。那么二維隨機(jī)變量是否也有離散型和連續(xù)型，也有相應(yīng)的分布律和概率密度?對(duì)應(yīng)推廣過(guò)來(lái)不就行了?
下面的這些“推廣”，你能否自己總結(jié)?
(2)一元函數(shù)極限與二重極限
(3)一元函數(shù)連續(xù)與二元函數(shù)連續(xù)
(4)一元函數(shù)可微與多元函數(shù)可微
(5)定積分與二重積分
(6)二重積分與三重積分
3. 學(xué)數(shù)學(xué)同時(shí)也學(xué)了英語(yǔ)，理解了漢語(yǔ)同時(shí)也記住了數(shù)學(xué)符號(hào)。這狀態(tài)聽(tīng)起來(lái)不錯(cuò)，要不要試一下?
(1) 微分的符號(hào)為什么是“d”?為什么常用“I”表示一個(gè)定積分?矩陣轉(zhuǎn)置的符號(hào)為什么是“T”?
“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是積分的英文integral 的首字母;“T”是轉(zhuǎn)置的英文transpose 的首字母。
(2) 微分方程的類(lèi)型不少，你能根據(jù)名字識(shí)別它們嗎?
關(guān)于微分方程，我們?cè)诨A(chǔ)階段要掌握的是識(shí)別和求解。
對(duì)于可分離變量的微分方程，如何識(shí)別?關(guān)鍵信息就在它的名字中——“可分離變量”。如果所給微分方程的x和y是完全可以分開(kāi)的，那么這就屬于此類(lèi)方程。它的解法也與名字“可分離變量”直接相關(guān)——通過(guò)恒等變形把x和y的式子移到等式的兩邊，然后兩邊求不定積分即可。
對(duì)于齊次微分方程，也可以通過(guò)名稱(chēng)識(shí)別：齊次是什么意思?字面含義是次數(shù)相等�！褒R次微分方程”的“齊次”指方程的每一項(xiàng)關(guān)于x、y次數(shù)都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均為二次項(xiàng)(注意 “齊次線性方程組”中的“齊次”是指每個(gè)方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等; “二階常系數(shù)齊次線性微分方程”中的“齊次”指微分方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等(都是零次))。那么如果一個(gè)一階微分方程，每一項(xiàng)x、y次數(shù)都相等，那么就屬于此類(lèi)型。
對(duì)于一階線性微分方程，識(shí)別的關(guān)鍵也在其名字——“一階線性”�！耙浑A”體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)是一階，“線性”在數(shù)學(xué)中即一次的意思，如線性函數(shù)即為一次函數(shù)，體現(xiàn)在微分方程關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)和y是一次的，即不會(huì)出現(xiàn)y的導(dǎo)數(shù)的平方或y的導(dǎo)數(shù)乘以y這種非線性的項(xiàng)。
對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，可以類(lèi)似按關(guān)鍵字“二階”、“常系數(shù)”、“非齊次”和“線性”理解。
其實(shí)，這部分內(nèi)容也可以理解成“顧名思義”。如果你也覺(jué)得挺有意思，那不妨自己主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)。
4. 有時(shí)，我們可以用聯(lián)想把數(shù)學(xué)和其它學(xué)科聯(lián)系起來(lái)，體會(huì)某種“異質(zhì)同構(gòu)”的樂(lè)趣。
(1)求極限的題目中，如果是這種類(lèi)型的：分子分母均為若干個(gè)無(wú)窮大的加減，可以用“抓大頭”這種方法。所謂“抓大頭”就是原極限等于從分子分母中分別抓出起決定作用的無(wú)窮大再算極限。這種做法是不是用點(diǎn)像“射人先射馬，擒賊先擒王”，或者“首犯必辦，脅從不論”?
(2)還有一種求極限的題目，分子或分母中有一項(xiàng)(非因子)是冪指型函數(shù)。有同學(xué)直接把這個(gè)冪指型函數(shù)的極限算出來(lái)，再算剩余部分的極限。想想他犯了什么錯(cuò)誤?是犯了刻舟求劍的錯(cuò)誤，還是形而上學(xué)的錯(cuò)誤?想想這些是不是有點(diǎn)意思?
二、方法
1. 在數(shù)學(xué)上，我們學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容，一般是按照定義、性質(zhì)和計(jì)算來(lái)學(xué)習(xí)。那么大家復(fù)習(xí)時(shí)，也可以從這三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。
比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)，比如行列式、矩陣、向量等。
2. 我們學(xué)習(xí)一種方法，可以問(wèn)自己這兩個(gè)問(wèn)題：何時(shí)用?怎么用?把這兩個(gè)問(wèn)題回答完整了，這種方法也掌握得差不多了。
比如不定積分的分部積分法，何時(shí)用?被積函數(shù)是兩個(gè)不同類(lèi)型的函數(shù)之積或者被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)這類(lèi)求導(dǎo)之后比自身簡(jiǎn)單的函數(shù)。怎么用? 選擇被積函數(shù)的一部分作為u，剩下的部分作為v的導(dǎo)數(shù)。那么什么樣的函數(shù)適合作為u呢?我們觀察分部積分公式會(huì)發(fā)現(xiàn)，用了公式后是要對(duì)u求導(dǎo)數(shù)的，那么u自然要選擇求導(dǎo)后比自己簡(jiǎn)單的函數(shù)。所以，適合作為u的除了上面提到的兩類(lèi)函數(shù)外，還有多項(xiàng)式。那么什么樣的函數(shù)作為v的導(dǎo)數(shù)呢?再觀察分部積分公式，可以認(rèn)為要用這個(gè)公式，第一步是把v的導(dǎo)數(shù)“往微分號(hào)d里拿”，即湊微分。所以易湊微分的函數(shù)適合作為v的導(dǎo)數(shù)，比如正余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等。
再比如帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式(帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式主要用來(lái)算極限)，何時(shí)用?出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(大于等于二階)時(shí)。怎么
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