2015考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)必備知識(shí)點(diǎn)
2014年研究生備考的硝煙還未散盡時(shí)，另一場(chǎng)戰(zhàn)役已經(jīng)打響。在考研數(shù)學(xué)的三門(mén)課里，線性代數(shù)這門(mén)課的特點(diǎn)又是什么呢?線性代數(shù)這門(mén)課對(duì)考生的抽象能力的要求特別的高，大綱要求主要考查的有抽象行列式的計(jì)算，抽象矩陣求逆，抽象矩陣求秩，抽象行列式求特征值與特征向量，這四種抽象題型是考研線性代數(shù)每年常出題型，占有很大比重，要求同學(xué)們有較高的綜合能力。
線性代數(shù)的前后知識(shí)的連續(xù)性強(qiáng)完全是由它自身的知識(shí)體系和邏輯推理方式來(lái)決定的，很多同學(xué)也都說(shuō)線性代數(shù)的公式概念結(jié)論特別的多，前后聯(lián)系特別的緊密，在做一個(gè)題時(shí)，如果有一個(gè)公式或者結(jié)論不知道，后面的過(guò)程就無(wú)法做下去，其實(shí)這也符合考研大綱的要求的考生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。如果和高等數(shù)學(xué)做個(gè)比較，我們把高等數(shù)學(xué)看作是一個(gè)連續(xù)性的推理過(guò)程，線性代數(shù)就是一個(gè)跳躍性的推理過(guò)程，在做題時(shí)表現(xiàn)的會(huì)很明顯。同學(xué)們?cè)谧龈叩葦?shù)學(xué)的題時(shí)，從第一步到第二步到第三步在數(shù)學(xué)式子上一個(gè)一個(gè)等下去很清晰，但是同學(xué)們?cè)谧鼍�性代數(shù)的題目時(shí)從第一步到第二步到第三步經(jīng)常在數(shù)學(xué)式子上看不出來(lái)，比如行列式的計(jì)算，從第幾行(或列)加到哪行(列)很多時(shí)候很難一下子看出來(lái)。針對(duì)上述特點(diǎn)，給出線性代數(shù)的各章節(jié)重要知識(shí)點(diǎn)具體復(fù)習(xí)建議，希望同學(xué)們的復(fù)習(xí)能夠有的放矢。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，從命題人的角度來(lái)看，可以像潤(rùn)滑油一般結(jié)合其它章節(jié)出題，因此必須熟練掌握。
行列式的核心內(nèi)容是求行列式——具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算。其中具體行列式的計(jì)算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解;而對(duì)于抽象行列式而言，考點(diǎn)不在如何求行列式，而在于結(jié)合后面章節(jié)內(nèi)容的相對(duì)綜合的題。
矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣各種運(yùn)算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。
向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。
這部分的重要考點(diǎn)一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。
(1)齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)�？梢栽O(shè)想線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。
(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系
同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”。經(jīng)過(guò) “秩→線性相關(guān)、無(wú)關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時(shí)，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。
(3)非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系
非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量
三、特征值與特征向量
相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)性，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。
本章知識(shí)要點(diǎn)如下：
1. 特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。
2. 相似矩陣及其性質(zhì)，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：
3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對(duì)應(yīng)有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
4. 實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化，n階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。
四、二次型
這部分所講的內(nèi)容從根本上講是特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的應(yīng)用。
本章核心要點(diǎn)如下：
1. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
2. 正定二次型的判斷與證明。
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