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2014年考研數(shù)學(xué):考前知識點終極梳理
這就是高等數(shù)學(xué)整個學(xué)科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外,考生需要掌握的知識點還有多元函數(shù)微積分,它實際上是將一元函數(shù)中的極限,連續(xù),可導(dǎo),可微,積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況,考生可以按照上面一樣的思路來總結(jié)。
考研到了最后一個月,這個時候考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時,千萬不要再大量做題了,應(yīng)該回歸教材,理清基本的知識點,梳理整個學(xué)科的知識框架。保持良好的心態(tài),以最好的狀態(tài)走上考場。老師根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗,總結(jié)了考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)的知識體系,希望能對廣大能有所幫助。
從整個學(xué)科上來看,高數(shù)實際上是圍繞著極限、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運算展開的。對于每一種運算,我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后,再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題,比如會計算極限以后:那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)間斷點的分類,導(dǎo)數(shù)的定義這些問題。這樣一梳理,整個高數(shù)的邏輯體系就會比較清晰。
極限部分:
極限的計算方法很多,總結(jié)起來有十多種,這里我們只列出主要的:四則運算,等價無窮小替換,洛必達法則,重要極限,泰勒公式,中值定理,夾逼定理,單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述,考生可以自己回顧一下,不太清晰的地方再翻到對應(yīng)的章節(jié)看一看。
會計算極限之后,我們來說說直接通過極限定義的基本概念:
通過極限,我們定義了函數(shù)的連續(xù)性:函數(shù)在處連續(xù)的定義是,根據(jù)極限的定義,我們知道該定義又等價于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計算極限。然后是間斷點的分類,具體標(biāo)準如下:
從中我們也可以看出,討論函數(shù)間斷點的分類,也僅需要計算左右極限。
再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了,函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是極限存在,也可以寫成極限存在。這里的極限式與前面相比要復(fù)雜一點,但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義,函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與 無關(guān)的常數(shù)使得時,有,其中。直接利用其定義,我們可以證明函數(shù)在一點可導(dǎo)和可微是等價的,它們都強于函數(shù)在該點連續(xù)。
以上就是極限這個體系下主要的知識點。
導(dǎo)數(shù)部分:
導(dǎo)數(shù)可以通過其定義計算,比如對分段函數(shù)在分段點上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時候,我們是直接通過各種求導(dǎo)法則來計算的。主要的求導(dǎo)法則有下面這些:四則運算,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,反函數(shù)求導(dǎo)法則,變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容,但出題的時候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識點一起出的,所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。能熟練運用這些基本的求導(dǎo)法則之后,我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算:隱函數(shù)求導(dǎo),參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會算的導(dǎo)數(shù)。這一部分的題目往往不難,但計算量比較大,需要考生有較高的熟練度。
然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個方面的應(yīng)用:切線,單調(diào)性,極值,拐點。每一部分都有一系列相關(guān)的定理,考生自行回顧一下。這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點,考試在考查這一塊時主要有三種考法:①求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性;②證明不等式;③討論方程根的個數(shù)。同時,導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。另外,數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計算公式。
積分部分:
一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分,其中不定積分是計算定積分的基礎(chǔ)。對于不定積分,我們主要掌握它的計算方法:第一類換元法,第二類換元法,分部積分法。這三種方法要融會貫通,掌握各種常見形式函數(shù)的積分方法。熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下,考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面:會用定積分的定義計算一些簡單的極限;理解微元法(分割、近似、求和、取極限)。至于可積性的嚴格定義,考生沒有必要掌握。然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì),這中間我們就提醒考生注意兩個定理:積分中值定理和微積分基本定理。這兩個定理的條件要記清楚,證明過程也要掌握,考試都直接或間接地考過。至于定積分的計算,我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進行計算,當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對稱區(qū)間上的積分)。一般來說,只要不定積分的計算沒問題,定積分的計算也就不成問題。定積分之后還有個廣義積分,它實際上就是把積分過程和求極限的過程結(jié)合起來了。考試對這一部分的要求不太高,只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別,再會進行一些簡單的計算就可以了。
會計算積分了,再來看一看定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計算,簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算,曲線弧長的計算,旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算。物理應(yīng)用主要是一些常見物理量的計算,包括功,壓力,質(zhì)心,引力,轉(zhuǎn)動慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握;數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計算,簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強,對考生綜合能力要求較高。
這就是高等數(shù)學(xué)整個學(xué)科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外,考生需要掌握的知識點還有多元函數(shù)微積分,它實際上是將一元函數(shù)中的極限,連續(xù),可導(dǎo),可微,積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況,考生可以按照上面一樣的思路來總結(jié)。另外還有兩章:級數(shù)、微分方程。它們可以看做是對前面知識點綜合的應(yīng)用。比如微分方程,它實際上就是積分學(xué)的推廣,解微分方程就是求積分。而級數(shù)則是對極限,導(dǎo)數(shù)和積分各種知識的綜合應(yīng)用。
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