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按“步”就班 考研數(shù)學(xué)證明題答題詳解
縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，可以看到：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一個(gè)證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來(lái)解決的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，邏輯推理能力不足以達(dá)到考研數(shù)學(xué)的要求，這就導(dǎo)致考研數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就會(huì)一籌莫展，這導(dǎo)致對(duì)于如此簡(jiǎn)單的證明題得分率也極低。除了個(gè)別考研輔導(dǎo)書(shū)中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書(shū)在這一方面沒(méi)有花太大力氣。 數(shù)學(xué)教研室李老師在此給大家簡(jiǎn)單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對(duì)有此隱患的同學(xué)有所幫助。
證明題可以分三步走：
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。了解基本原理是證明的基礎(chǔ)，了解的程度不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目中文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)
有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)
及
在
上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。
對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的分?jǐn)?shù)，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以防止分?jǐn)?shù)的白白流失。
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