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2013考研數(shù)學(xué) 中值定理及其應(yīng)用
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，中值定理證明題是讓很多考生頭疼的一個(gè)點(diǎn),解這類題的關(guān)鍵在構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)構(gòu)造好了，題目便能迎刃而解。對(duì)此湯家鳳老師在《無師自通2013考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》中不光詳細(xì)列出和講解了中值定理相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且列了專題討論和講解了輔助函數(shù)的構(gòu)造問題并附有大量例題。本文總結(jié)其中幾點(diǎn)如下，供考生參考。
考研數(shù)學(xué)考察的中值定理有：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。這四個(gè)定理之間的聯(lián)系和區(qū)別要弄清楚，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。除泰勒定理外的三個(gè)定理都要求已知函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，對(duì)應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。柯西中值定理涉及到兩個(gè)函數(shù)，在分母上的那個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)在定義域上要求不為零，柯西中值定理還有一個(gè)重要應(yīng)用——洛必達(dá)法則，在求極限時(shí)會(huì)經(jīng)常用到。泰勒公式中的x0=0時(shí)為泰勒公式的特殊情況，為麥克勞林公式，常見函數(shù)的麥克勞林展開式要熟記，在求極限和級(jí)數(shù)一章中有很重要的應(yīng)用。
證明題中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法：
一、結(jié)論中只含ξ，不含其它字母，且導(dǎo)數(shù)之間的差距為一階。
二、結(jié)論中只含ξ，不含其它字母，且導(dǎo)數(shù)之間相差超過一階。
三、結(jié)論中除含ξ，還含有端點(diǎn)a,b。
四、結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值。
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