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說(shuō)課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》

時(shí)間:2023-05-02 02:31:46 高中數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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說(shuō)課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》深圳中學(xué) 白教授

教學(xué)目標(biāo) 

A、知識(shí)目標(biāo):

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。

B、能力目標(biāo):

(1)通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn),在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

(2)利用以退求進(jìn)的思維策略,遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,讓學(xué)生在實(shí)踐中通過(guò)觀(guān)察、嘗試、分析、類(lèi)比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式,培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比思維能力。

(3)通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

C、情感目標(biāo):(數(shù)學(xué)文化價(jià)值)

(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中,從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

(2)通過(guò)公式的運(yùn)用,樹(shù)立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識(shí)。

(3)通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,令人著迷的數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望,樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn),產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。

教學(xué)重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

教學(xué)難點(diǎn) :等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。

教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)、討論、引導(dǎo)式。

教具:現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

教學(xué)過(guò)程 

一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入  新課。

師:上幾節(jié),我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì),今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和,我們自然會(huì)想到德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí),一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題:"把從1到100的自然數(shù)加起來(lái),和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050,這使教師非常吃驚,那么高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算,那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀(guān)察學(xué)生的表情反映,然后將此問(wèn)題縮小十倍)。我們來(lái)看這樣一道一例題。

例1,計(jì)算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計(jì)算以外,還有沒(méi)有其他有趣的解法呢?小組討論后,讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個(gè)11,得到55。

生2:可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律,又可寫(xiě)成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個(gè)

所以我們得到S=55,

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師:高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法,和上述兩位同學(xué)的方法相類(lèi)似。

理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個(gè)101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請(qǐng)同學(xué)們想一下,上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢?

生3:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.

二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

師:如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1,項(xiàng)數(shù)為n,第n項(xiàng)an,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),如何來(lái)導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo),并請(qǐng)一位學(xué)生板演。

生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫(xiě)成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個(gè)

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

師:好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,項(xiàng)數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+ d(II)

上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱(chēng)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的,我們可以發(fā)現(xiàn),它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類(lèi)比,這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1,下底是第n項(xiàng)an,高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量?(a1,d,n,an,Sn),它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d,Sn==na1+ d];這些量中有幾個(gè)可自由變化?(三個(gè))從而了解到:只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說(shuō)明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

三、公式的應(yīng)用(通過(guò)實(shí)例演練,形成技能)。

1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式,即用基本量觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)例2、計(jì)算:

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請(qǐng)同學(xué)們先完成(1)-(3),并請(qǐng)一位同學(xué)回答。

生5:直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得

(1)1+2+3+......+n=

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

(3)2+4+6+......+2n==n(n+1)

師:第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能,那應(yīng)如何解答?小組討論后,讓學(xué)生發(fā)言解答。

生6:(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng),不是等差數(shù)列,但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開(kāi),可看成兩個(gè)等差數(shù)列,所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7:上題雖然不是等差數(shù)列,但有一個(gè)規(guī)律,兩項(xiàng)結(jié)合都為-1,故可得另一解法:

原式=-1-1-......-1=-n

n個(gè)

師:很好!在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀(guān)察,尋找規(guī)律,往往會(huì)尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí),要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù),否則會(huì)引起錯(cuò)解。

例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。

生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4

又∵d=-2,∴a1=6

∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4

a8+a9+a10=75,a1+8d=25

解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+=145

師:通過(guò)上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量,可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二),請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)例3自己編題,作為本節(jié)的課外練習(xí)題,以便下節(jié)課交流。

師:(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生,將第(2)小題改編)

①數(shù)列{an}等差數(shù)列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n

②若此題不求a1,d而只求S10時(shí),是否一定非來(lái)求得a1,d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì),用整體思想考慮求a1+a10的值。

2、用整體觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。

例4,在等差數(shù)列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

師:來(lái)看第(1)小題,寫(xiě)出的計(jì)算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?

生10:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。

師:對(duì)。ê(jiǎn)單小結(jié))這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和,于是這個(gè)問(wèn)題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問(wèn)題的體現(xiàn)。

師:由于時(shí)間關(guān)系,我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析,引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察當(dāng)d≠0時(shí),Sn是n的二次函數(shù),那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)如何來(lái)認(rèn)識(shí)Sn公式后,這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

最后請(qǐng)大家課外思考Sn公式(1)的逆命題:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于所有自然數(shù)n,都有Sn=。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由。

四、小結(jié)與作業(yè) 。

師:接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

生11:1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題,熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用。

生12:1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。

2、具體用Sn公式時(shí),要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II),掌握知三求二的解題通法。

3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí),要認(rèn)真觀(guān)察,靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師:通過(guò)以上幾例,說(shuō)明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì),要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人,去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì),主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)。

本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀(guān)察、嘗試、分析、歸納、類(lèi)比、特定系數(shù)等。

數(shù)學(xué)思想:類(lèi)比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

作業(yè) :P49:13、14、15、17

說(shuō)課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》

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