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一元二次方程根與系數(shù)關系
一元二次方程(一)
一、素質教育目標
(一)知識教學點:1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義;2.掌握一元二次方程的一般形式,正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.
(二)能力訓練點:1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力;2.通過一元二次方程概念的學習,培養(yǎng)學生對概念理解的完整性和深刻性.
(三)德育滲透點:由知識來源于實際,樹立轉化的思想,由設未知數(shù)列方程向學生滲透方程的思想方法,由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.
二、教學重點、難點
1.教學重點:一元二次方程的意義及一般形式.
2.教學難點 :正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.用電腦演示下面的操作:一塊長方形的薄鋼片,在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來,就成為一個無蓋的長方體盒子,演示完畢,讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀,實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作,為解決下面的問題奠定基礎,同時培養(yǎng)學生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片,在每個角上截去四個相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子,那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長?
教師啟發(fā)學生設未知數(shù)、列方程,經整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不會解,說明所學知識不夠用,需要學習新的知識,學了本章的知識,就可以解這個方程,從而解決上述問題.
板書:“第十二章一元二次方程”.教師恰當?shù)恼Z言,激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.
(二)整體感知
通過章前引例和節(jié)前引例,使學生真正認識到知識來源于實際,并且又為實際服務,學習了一元二次方程的知識,可以解決許多實際問題,真正體會學習數(shù)學的意義;產生用數(shù)學的意識,調動學生積極主動參與數(shù)學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
(三)重點、難點的學習及目標完成過程
1.復習提問
(1)什么叫做方程?曾學過哪些方程?
(2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含義?
(3)什么叫做分式方程?
問題的提出及解決,為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊.
2.引例:剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應怎樣剪?
引導,啟發(fā)學生設未知數(shù)列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以觀察、比較,得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程:方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式,這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程:只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數(shù)”,“二次”指的是“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”.“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎.一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的.這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟:首先要進行合并同類項整理,再按定義進行判斷.
3.練習:指出下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x(5x-2)=x(x+1)+4x2;
(2)7x2+6=2x(3x+1);
(3)
(4)6x2=x;
(5)2x2=5y;
(6)-x2=0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式,這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).ax2稱二次項,bx稱一次項,c稱常數(shù)項,a稱二次項系數(shù),b稱一次項系數(shù).
一般式中的“a≠0”為什么?如果a=0,則ax2+bx+c=0就不是一元二次方程,由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1 把方程3x(x-1)=2(x+1)+8化成一般形式,并寫出二次項系數(shù),一次項系數(shù)及常數(shù)項?
教師邊提問邊引導,板書并規(guī)范步驟,深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.
6.練習1:教材P.5中1,2.要求多數(shù)學生在練習本上筆答,部分學生板書,師生評價.題目答案不唯一,最好二次項系數(shù)化為正數(shù).
練習2:下列關于x的方程是否是一元二次方程?為什么?若是一元二次方程,請分別指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.
8mx-2m-1=0;(4)(b2+1)x2-bx+b=2;(5)2tx(x-5)=7-4tx.
教師提問及恰當?shù)囊龑В瑢W生回答給出評價,通過此組練習,加強對概念的理解和深化.
(四)總結、擴展
引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法?從知識內容上學到了什么內容?分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系?
1.將實際問題用設未知數(shù)列方程轉化為數(shù)學問題,體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式,二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.歸納所學過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的區(qū)別和聯(lián)系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.
四、布置作業(yè)
1.教材P.6 練習2.
2.思考題:
1)能不能說“關于x的整式方程中,含有x2項的方程叫做一元二次方程?”
2)試說出一元三次方程,一元四次方程的定義及一般形式(學有余力的學生思考).
五、板書設計
第十二章 一元二次方程
12.1用公式解一元二次方程
1.整式方程:……
4.例1:……
2.一元二次方程……:
……
3.一元二次方程的一般形式:
……
5.練習:……
……
……
12.6 一元二次方程的應用(二)
一、素質教育目標
(一)知識教學點:使學生會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用問題.
(二)能力訓練點:進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題解決問題的能力,培養(yǎng)用數(shù)學的意識.
(三)德育滲透點:進一步使學生深刻體會轉化以及方程的思想方法、滲透數(shù)形結合的思想.
二、教學重點、難點
1.教學重點:會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用題.
2.教學難點 :找等量關系.列一元二次方程解應用題時,應注意是方程的解,但不一定符合題意,因此求解后一定要檢驗,以確定適合題意的解.例如線段的長度不為負值,人的個數(shù)不能為分數(shù)等.
三、教學步驟
(一)明確目標
初一學過一元一次方程的應用,實際上是據(jù)實際題意,設未知數(shù),列出一元一次方程求解,從而得到問題的解決,但有的實際問題,列出的方程不是一元一次方程,而是一元二次方程,這就是我們本節(jié)課要研究的一元二次方程的應用——有關面積和體積方面的實際問題.
(二)整體感知
本小節(jié)是“一元一次方程的應用”的繼續(xù)和發(fā)展.由于能用一元一次方程(或一次方程組)解的應用題,一般都可以用算術方法解,而需用一元二次方程來解的應用題,一般說是不能用算術法來解的,所以,講解本小節(jié)可以使學生認識到用代數(shù)方法解應用題的優(yōu)越性和必要性.
從列方程解應用題的方法來說,列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似,都是根據(jù)問題中的相等關系列出方程、解方程、判斷根是否適合題意,作出正確的答案.列出一元二次方程,其應用相當廣泛,如在幾何、物理及其他學科中都有大量問題存在;本節(jié)課的內容是關于面積、體積的實際問題.
通過本節(jié)課學習,培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力以及用數(shù)學的意識,滲透轉化的思想、方程的思想及數(shù)形結合的思想.
(三)重點、難點的學習和目標完成過程
1.復習提問
(1)列方程解應用題的步驟?
(2)長方形的周長、面積?長方體的體積?
2.例1 現(xiàn)有長方形紙片一張,長19cm,寬15cm,需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒?
解:設需要剪去的小正方形邊長為xcm,則盒底面長方形的長為(19-2x)cm,寬為(15-2x)cm,
據(jù)題意:(19-2x)(15-2x)=77.
整理后,得x2-17x+52=0,
解得x1=4,x2=13.
∴ 當x=13時,15-2x=-11(不合題意,舍去.)
答:截取的小正方形邊長應為4cm,可制成符合要求的無蓋盒子.
本題教師啟發(fā)、引導、學生回答,注意以下幾個問題.
(1)因為要做成底面積為77cm2的無蓋的長方體形的盒子,如果底面的長和寬分別能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示,這樣依據(jù)長×寬=長方形面積,便可以找準等量關系,列出方程,這是解決本題的關鍵.
(2)求出的兩個根一定要進行實際題意的檢驗,本題如果截取的小正方形邊長為13時,得到底面的寬為-11,則不合題意,所以x=13舍去.(3)本題是一道典型的實際生活的問題,在學習本章之前,這個問題無法解決,但學了一元二次方程的知識之后,這個問題便可以解決.使學生深刻體會數(shù)學知識應用的價值,由此提高學生學習數(shù)學的興趣和用數(shù)學的意識.
練習1.章節(jié)前引例.
學生筆答、板書、評價.
練習2.教材P.42中4.
學生筆答、板書、評價.
注意:全面積=各部分面積之和.
剩余面積=原面積-截取面積.
例2 要做一個容積為750cm3,高是6cm,底面的長比寬多5cm的長方形匣子,底面的長及寬應該各是多少(精確到0.1cm)?
分析:底面的長和寬均可用含未知數(shù)的代數(shù)式表示,則長×寬×高=體積,這樣便可得到含有未知數(shù)的等式——方程.
解:長方體底面的寬為xcm,則長為(x+5)cm,
解:長方體底面的寬為xcm,則長為(x+5)cm,
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