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數(shù)學(xué)教案-提公因式法

時(shí)間:2023-05-02 02:24:50 初中數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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數(shù)學(xué)教案-提公因式法

教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教案-提公因式法

提公因式法(一)

教學(xué)目標(biāo) 

1.使學(xué)生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

2.使學(xué)生理解提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式.

3.通過(guò)學(xué)生自行探求解題途徑,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力,深化學(xué)生逆向思維能力.

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):

因式分解的概念及提公因式法.

教學(xué)難點(diǎn) :

正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì):

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

乘法對(duì)加法的分配律.

二、新課

1.新課引入:用類比的方法引入課題.

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí),我們常常要進(jìn)行約分與通分,因此常常要把一個(gè)數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù)).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.

在第七章我們學(xué)習(xí)了整式的乘法,幾個(gè)整式相乘可以化成一個(gè)多項(xiàng)式,那么一個(gè)多項(xiàng)式如何化成幾個(gè)整式乘積的形式呢?這一章就是學(xué)習(xí)如何把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的方法.

2.因式分解的概念:

請(qǐng)學(xué)生每人寫(xiě)出一個(gè)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的例子,并計(jì)算出其結(jié)果.(老師按學(xué)生所說(shuō)在黑板寫(xiě)出幾個(gè).)

如:m(a+b+c)=ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

再請(qǐng)學(xué)生觀察它們有什么共同的特點(diǎn)?

特點(diǎn):左邊,整式×整式;右邊,是多項(xiàng)式.

可見(jiàn),整式乘以整式結(jié)果是多項(xiàng)式,而多項(xiàng)式也可以變形為相應(yīng)的整式與整式的乘積,我們就把這種多項(xiàng)式的變形叫做因式分解.

定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).

整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.

讓學(xué)生說(shuō)出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

聯(lián)系:同樣是由幾個(gè)相同的整式組成的等式.

區(qū)別:這幾個(gè)相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式,一個(gè)是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式,一個(gè)是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式.

例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)

(1)x2-x=x(x-1) (√)

(2)a(a-b)=a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

下面我們學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)的因式分解方法.

3.提公因式法:

我們看多項(xiàng)式:ma+mb+mc

請(qǐng)學(xué)生指出它的特點(diǎn):各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m,這時(shí)我們把因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

注意:公因式是各項(xiàng)都含有的公共的因式.

又如:a是多項(xiàng)式a2-a各項(xiàng)的公因式.

ab是多項(xiàng)式5a2b-ab2各項(xiàng)的公因式.

2mn是多項(xiàng)式4m2np-2mn2q各項(xiàng)的公因式.

根據(jù)乘法的分配律,可得

m(a+b+c)=ma+mb+mc,

逆變形,便得到多項(xiàng)式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc=m(a+b+c).

這說(shuō)明,多項(xiàng)式ma+mb+mc各項(xiàng)都含有的公因式可以提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式 ma+mb+mc寫(xiě)成m(a+b+c)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

定義:一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多 項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

顯然,由定義可知,提公因式法的關(guān)鍵是如何正確地尋找公因式.讓學(xué)生觀察上面的公因式的特點(diǎn),找出確定公因式的萬(wàn)法:(1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù):(2)字母取各項(xiàng)的相同字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)例2 指出下列各多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式:

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

分析:分兩步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.

先引導(dǎo)學(xué)生按確定公因式的方法找出多項(xiàng)式的公因式4ab2.

解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

說(shuō)明:

(1)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)確定公因式的兩個(gè)條件以免漏。

(2)開(kāi)始講提公因式法時(shí),最好把公因式單獨(dú)寫(xiě)出.①以顯提醒;③強(qiáng)調(diào)提公因式;③強(qiáng)調(diào)因式分解.

例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

分析:先引導(dǎo)學(xué)生找出公因式x,強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式中x=x·1.

解:3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

=x(3x-6y+1).

說(shuō)明:當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)恰好是公因式時(shí),這項(xiàng)應(yīng)看成它與1的乘積,提公因式后剩下的應(yīng)是1,1作為項(xiàng)的系數(shù)通?梢允÷,但如果單獨(dú)成一項(xiàng)時(shí),它在因式分解時(shí)不能漏掉,這類題常常有些學(xué)生犯下面的錯(cuò)誤,3x2-6xy+x=x(3x-6y),這一點(diǎn)可讓學(xué)生利用恒等變形分析錯(cuò)誤原因.還應(yīng)提醒學(xué)生注意:提公因式后的因式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣,這樣可以檢查是否漏項(xiàng).

課堂練習(xí):(投影)

把下列各式分解因式:

(l)2πR+2πr;

(2)

(3)3x3+6x2;

(4)21a2+7a;

(5)15a2+25ab2;

(6)x2y+xy2-xy.

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

分析:此多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù),與前面兩例不同,應(yīng)先把它轉(zhuǎn)化為前面的情形便可以因式分解了,所以應(yīng)先提負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化,然后再提公因式,提-號(hào)時(shí),注意添括號(hào)法則.

解:-4m3+16m2-26m

=-(4m3-16m2+26m)

=-2m(2m2-8m+13).

說(shuō)明:通過(guò)此例可以看出應(yīng)用提公因式法分解因式時(shí),應(yīng)先觀察第一項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)用添括號(hào)法則提出負(fù)號(hào),此時(shí)一定要把每一項(xiàng)都變號(hào);然后再提公因式.

課堂練習(xí):(投影)

把下列各式分解因式:

(1)-15ax-20a;

(2)-25x8+125x16;

(3)-a3b2+a2b3;

(4)-x3y3-x2y2-xy;

(5)-3ma3+6ma2-12ma;

(6)

(三)小結(jié)

1.因式分解的意義及其概念.

2.因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

3.公因式及提公因式法.

4.提公因式法因式分解中應(yīng)注意的問(wèn)題.

六、作業(yè) 

教材 P.10中 1、2、3、4.

七、板書(shū)設(shè)計(jì) 

數(shù)學(xué)教案-提公因式法

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