正方形 探索式教學(xué)示例

師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形�，F(xiàn)在請同學(xué)們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進(jìn)行折疊處理。

動畫演示：

場景一：正方形折疊演示

    師：這就是我們得到的正方形。下面請同學(xué)們拿出三角板（刻度尺）和圓規(guī)，我們來研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線之間的關(guān)系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

    [學(xué)生活動：各自測量。]

    鼓勵學(xué)生將測量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點。

    講授新課

    找一兩個學(xué)生表述其結(jié)論，表述是要注意糾正其語言的規(guī)范性。

動畫演示：

場景二：正方形的性質(zhì)

師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)？

[學(xué)生活動：尋找矩形性質(zhì)。]

動畫演示：

場景三：矩形的性質(zhì)

師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。

[學(xué)生活動；尋找菱形性質(zhì)。]

動畫演示：

場景四：菱形的性質(zhì)

師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。

及時提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。

師：根據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個定義？怎么樣給正方形下一個準(zhǔn)確的定義？

[學(xué)生活動：積極思考，有同學(xué)做躍躍欲試狀。]

師：請同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以根據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應(yīng)鼓勵，把以下三種板書：

“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

“有一個角是直角的菱形叫做正方形�！�

“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”

[學(xué)生活動：討論這三個定義正確不正確？三個定義之間有什么共同和不同的地方？這出教材中采用的是第三種定義方式。]

師：根據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。

動畫演示：

場景五：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系

場景六：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的性質(zhì)關(guān)系

師：當(dāng)然平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系還可以用下圖（圖1）表示：

圖1

師：請同學(xué)們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系以及平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的性質(zhì)關(guān)系整理在筆記本上。

例題講解

例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE

分析：據(jù)已知條件畫出圖形，如圖2所示，要證明線段相等，與圖形可以證明二個三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC.

證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

圖2

說明：應(yīng)用正方形的性質(zhì)，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結(jié)論完全相同，證法是可以借鑒的。

鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)題目可有教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。

講解新課

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系，怎么判定一個矩形是正方形？

生：證一組鄰邊相等。

師：怎么判定一個菱形是正方形？

生：證有一個角是直角。

師：怎么判定一個平行四邊形是正方形？

生：根據(jù)定義，證有一組鄰邊相等且有一個角是直角。

師：那么，剛才的結(jié)論如果用圖來表示，是不是如圖2所示？

師：圖3表現(xiàn)出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系把圖3補全？

[學(xué)生活動：積極思考，部分學(xué)生疑惑不解。]

師點取上等學(xué)生回答問題，根據(jù)回答得圖4。

生恍然大悟。

學(xué)生思路得到啟發(fā)，中上等及上等學(xué)生意猶未盡，鼓勵他們根據(jù)矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡單示例。

就勢跟進(jìn)，要求學(xué)生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對角線條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡單圖例，并說出相應(yīng)證明思路。

為進(jìn)一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個問題：

(1)對角線相等的菱形是正方形嗎？

(2)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？

(3)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？

(4)能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”

(5)四個角都相等的四邊形是正方形嗎？

小結(jié)：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學(xué)會具體分析，規(guī)定條件和隱含條件不外乎邊、角、對角線，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學(xué)會去分析。

動畫演示：

場景七：正方形的判定

例題講解

例2  如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點，DE、CF相交于M，

求證：AD=AM。

分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據(jù)題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關(guān)的等腰三角形？只需延長CF、DA交于N，即可出現(xiàn)直角三角形MND，只要證明A是ND中點即可。這是是否發(fā)現(xiàn)△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，從而A是ND中點，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。

證明：略。

說明：將此題中的中點E、F進(jìn)行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個變化后的圖形在正方形中常常出現(xiàn)，要注意隱含的這個垂直條件。

課堂練習(xí)題及課后作業(yè) 可由教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。

正方形 探索式教學(xué)示例