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第三冊分式方程的應(yīng)用

時間:2023-05-02 02:22:56 初中數(shù)學教案 我要投稿
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第三冊分式方程的應(yīng)用

教學目標 

1.使學生能分析題目中的等量關(guān)系,掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟,提高學生分析問題和解決問題的能力;

2.通過列分式方程解應(yīng)用題,滲透方程的思想方法。

教學重點和難點

重點:列分式方程解應(yīng)用題.

難點:根據(jù)題意,找出等量關(guān)系,正確列出方程.

教學過程 設(shè)計

一、復(fù)習

例  解方程:

(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;

(3)2(1x+1x+3)+x-2x+3=1.

解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母,得

2(x+3)+x2=x2+3x,即2x-3x=-6

所以 x=6.

檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.

(2)方程兩邊都乘以x(x+12),約去分母,得

15(x+12)=30x.

解這個整式方程,得

x=12.

檢驗:當x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

(3)整理,得

2x+2x+3+x-2x+3=1,即2x+2+x-2 x+3=1,

即 2x+xx+3=1.

方程兩邊都乘以x(x+3),去分母,得

2(x+3)+x2=x(x+3),

即 2x+6+x2=x2+3x,

亦即 2x-3x=-6.

解這個整式方程,得 x=6.

檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.

二、新課

例1 一隊學生去校外參觀,他們出發(fā)30分鐘時,學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師,派一名學生騎車從學校出發(fā),按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍,這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米,問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?

請同學根據(jù)題意,找出題目中的等量關(guān)系.

答:騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米);

騎車的速度=步行速度的2倍;

騎車所用的時間=步行的時間-0.5小時.

請同學依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程.

答案:

方法1 設(shè)這名學生騎車追上隊伍需x小時,依題意列方程為

         15x=2×15 x+12.

方法2 設(shè)步行速度為x千米/時,騎車速度為2x千米/時,依題意列方程為

15x-15 2x=12.

解 由方法1所列出的方程,已在復(fù)習中解出,下面解由方法2所列出的方程.

方程兩邊都乘以2x,去分母,得

30-15=x,

所以   x=15.

檢驗:當x=15時,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合題意.

所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米/時=12小時.

答:騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘.

指出:在例1中我們運用了兩個關(guān)系式,即時間=距離速度,速度=距離 時間.

如果設(shè)速度為未知量,那么按時間找等量關(guān)系列方程;如果設(shè)時間為未知量,那么按

速度找等量關(guān)系列方程,所列出的方程都是分式方程.

例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成,若由甲隊去做,恰好如期完成;若由乙隊去做,要超過規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天,剩下的工程由乙獨做,恰好在規(guī)定日期完成,問規(guī)定日期是多少天?

分析;這是一個工程問題,在工程問題中有三個量,工作量設(shè)為s,工作所用時間設(shè)為t,工作效率設(shè)為m,三個量之間的關(guān)系是

s=mt,或t=sm,或m=st.

請同學根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.

答案:

方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù),設(shè)為x天,那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天,設(shè)工程總量為1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3.依題意,列方程為

2(1x+1x3)+x2-xx+3=1.

指出:工作效率的意義是單位時間完成的工作量.

方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天,乙與甲合作兩天后,剩下的工程由乙單獨做,恰好在規(guī)定日期完成,因此乙的工作時間就是x天,根據(jù)題意列方程

2x+xx+3=1.

方法3 根據(jù)等量關(guān)系,總工作量—甲的工作量=乙的工作量,設(shè)規(guī)定日期為x天,則可列方程

1-2x=2x+3+x-2x+3.

用方法1~方法3所列出的方程,我們已在新課之前解出,這里就不再解分式方程了.重點是找等量關(guān)系列方程.

三、課堂練習

1.甲加工180個零件所用的時間,乙可以加工240個零件,已知甲每小時比乙少加工5個零件,求兩人每小時各加工的零件個數(shù).

2.A,B兩地相距135千米,有大,小兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2:5,求兩輛汽車的速度.

答案:

1.甲每小時加工15個零件,乙每小時加工20個零件.

2.大,小汽車的速度分別為18千米/時和45千米/時.

四、小結(jié)

1.列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同,不同點是,解分式方程必須要驗根.一方面要看原方程是否有增根,另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去.

2.列分式方程解應(yīng)用題,一般是求什么量,就設(shè)所求的量為未知數(shù),這種設(shè)未知數(shù)的方法,叫做設(shè)直接未知數(shù).但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量,而是設(shè)另外的量為未知量,這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù).在列分式方程解應(yīng)用題時,設(shè)間接未知數(shù),有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習中的第2題,若題目的條件不變,把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間,如果設(shè)直接未知數(shù),即設(shè),小汽車從A地到B地需用時間為x小時,則大汽車從A地到B地需(x+5-12)小時,依題意,列方程

135 x+5-12:135x=2:5.

     解這個分式方程,運算較繁瑣.如果設(shè)間接未知數(shù),即設(shè)速度為未知數(shù),先求出大、小兩輛汽車的速度,再分別求出它們從A地到B地的時間,運算就簡便多了.

五、作業(yè) 

1.填空:

(1)一件工作甲單獨做要m小時完成,乙單獨做要n小時完成,如果兩人合做,完成這件工作的時間是______小時;

(2)某食堂有米m公斤,原計劃每天用糧a公斤,現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤,則可以比原計劃多用天數(shù)是______;

(3)把a千克的鹽溶在b千克的水中,那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克.

2.列方程解應(yīng)用題.

(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個,當?shù)诙渭庸r,他革新了工具,改進了操作方法,結(jié)果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍,求他第二次加工時每小時加工多少零件?

(2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米,如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等,求他步行40千米用多少小時?

(3)已知輪船在靜水中每小時行20千米,如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同,那么此江水每小時的流速是多少千米?

(4)A,B兩地相距135千米,兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5:2,求兩輛汽車各自的速度.

答案:

1.(1)mn m+n; (2)m a-b-ma; (3)ma a+b.

2.(1)第二次加工時,每小時加工125個零件.

  (2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時).答步行40千米用了10小時.

(3)江水的流速為4千米/時.

課堂教學設(shè)計說明

1.教學設(shè)計中,對于例1,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,找到三個等量關(guān)系,并用兩種不同的方法列出方程;對于例2,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,用三種不同的方法列出方程.這種安排,意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題,激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣.這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間.

2.教學設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用.例1是行程問題,其中距離是已知量,求速度(或時間);例2是工程問題,其中工作總量為已知量,求完成工作量的時間(或工作效率).這些都是運用列分式方程求解的典型問題.教學中引導(dǎo)學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系,以及列方程求解的思路,以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另?別,讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答,求解的思路是什么.學生完成課堂練習和作業(yè) ,則是識別問題類型,能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系,探求解題思路.

3.通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學,滲透了方程的思想方法,從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器.方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容.如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法,假設(shè)所求的量為x,這時就把它作為一個實實在在的量.通過找等量關(guān)系列方程,此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待,這就是“以假當真”.通過解方程求得問題的解,原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量,這就是“弄假成真”.

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