數(shù)學(xué)教案－矩形

教學(xué)建議

知識結(jié)構(gòu)

重難點分析

本節(jié)的重點是矩形的性質(zhì)和判定定理。矩形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一個角是直角”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。矩形的這些性質(zhì)和判定定理即是平行四邊形性質(zhì)與判定的延續(xù)，又是以后要學(xué)習(xí)的正方形的基礎(chǔ)。

本節(jié)的難點是矩形性質(zhì)的靈活應(yīng)用。由于矩形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質(zhì)，同時還具有自己獨特的性質(zhì)。如果得到一個平行四邊形是矩形，就可以得到許多關(guān)于邊、角、對角線的條件，在實際解題中，應(yīng)該應(yīng)用哪些條件，怎樣應(yīng)用這些條件，常常讓許多學(xué)生手足無措，教師在教學(xué)過程 中應(yīng)給予足夠重視。

教法建議

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點和與平行四邊形的關(guān)系，建議教師在教學(xué)過程 中注意以下問題：

1.矩形的知識，學(xué)生在小學(xué)時接觸過一些，可由小學(xué)學(xué)過的知識作為引入。

2.矩形在現(xiàn)實中的實例較多，在講解矩形的性質(zhì)和判定時，教師可自行準(zhǔn)備或由學(xué)生準(zhǔn)備一些生活實例來進(jìn)行判別應(yīng)用了哪些性質(zhì)和判定，既增加了學(xué)生的參與感又鞏固了所學(xué)的知識．

3. 如果條件允許，教師在講授這節(jié)內(nèi)容前，可指導(dǎo)學(xué)生按照教材145頁圖4-30所示，制作一個平行四邊形作為教學(xué)過程 中的道具，既增強了學(xué)生的動手能力和參與感，有在教學(xué)中有切實的體例，使學(xué)生對知識的掌握更輕松些．

4. 在對性質(zhì)的講解中，教師可將學(xué)生分成若干組，每個學(xué)生分別對事先準(zhǔn)備后的圖形進(jìn)行邊、角、對角線的測量，然后在組內(nèi)進(jìn)行整理、歸納．

5. 由于矩形的性質(zhì)定理證明比較簡單，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析思路，由學(xué)生來進(jìn)行具體的證明．

6.在矩形性質(zhì)應(yīng)用講解中，為便于理解掌握，教師要注意題目的層次安排。

 矩形教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo) 

1．知道矩形的定義和矩形與平行四邊形之間的聯(lián)系；能說出矩形的四個角都是直角和矩形的的對角線相等的性質(zhì)；能推出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)。

2．能運用以上性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明和計算。

此外，從矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系中，體會特殊與一般的關(guān)系，滲透集合的思想，培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義觀點。

引導(dǎo)性材料

想一想：一般四邊形與平行四邊形之間的相互關(guān)系？在圖4．5－l的圓圈中填上“四邊形”和“平行四邊形”的字樣來說明這種關(guān)系：即平行四邊形是特殊的四邊形，又具有一般四邊形的一切性質(zhì)；具有一些特殊的性質(zhì)。

小學(xué)里已學(xué)過長方形，即矩形。顯然，矩形是平行四邊形，而且矩形還具有四個角都是直角(小學(xué)里已學(xué)過)等特殊性質(zhì)，那么，如果在圖4.5-1中再畫一個圈表示矩形，這個圈應(yīng)畫在哪里？

(讓學(xué)生初步感知矩形與平行四邊形的從屬關(guān)系。)

演示：用四根木條制作一個平行四邊形教具。利用平行四邊形的不穩(wěn)定性，演示如圖4.5-2，當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角由銳角變?yōu)殁g角的過程中，會發(fā)生怎樣的特殊情況，這時的圖形是什么圖形(矩形)。

問題1：從上面的演示過程，可以發(fā)現(xiàn)：平行四邊形具備什么條件時，就成了矩形？

說明與建議：教師的演示應(yīng)充分展現(xiàn)變化過程，從而讓學(xué)生深切地感受到短形是無數(shù)個平行四邊形中的一個特例，同時，又使學(xué)生能正確地給出矩形的定義。

問題2：矩形是特殊的平行四邊形，它除了“有一個角是直角”以外，還可能具有哪些平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)呢？

說明與建議：讓學(xué)生分組探索，有必要時，教師可引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)研究平行四邊形獲得的經(jīng)驗，分別從邊、角、對角線三個方面探索矩形的特性，還可提醒學(xué)生，這種探索的基礎(chǔ)是矩形“有一個角是直角”矩形的四個角都相等（矩形性質(zhì)定理1），要學(xué)生給以證明（即課本例1后練習(xí)第1題）。

學(xué)生能探索得出“矩形的鄰邊互相垂直”的特性，教師可作說明：這與矩形的四個角是直角本質(zhì)上是一致的，所以不必另列為一個性質(zhì)。

學(xué)生探索矩形的四條對角線的大小關(guān)系時，如有困難，可引導(dǎo)學(xué)生測量并比較矩形兩條對角線的長度，然后加以證明，得出性質(zhì)定理2。

問題3：矩形的一條對角線把矩形分成兩個直角三角形，矩形的對角線既互相平分又相等，由此，我們可以得到直角三角形的什么重要性質(zhì)？

說明與建議：(1)讓學(xué)生先觀察圖4.5-3，并議論猜想，如學(xué)生有困難，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中的一個直角三角形(如Rt△ABC)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)斜邊上的中線BO與斜線AC的大小關(guān)系，然后讓學(xué)生自己給出如下證明：

證明：在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=BD(矩形的對角線相等)。

 AO=CO

∴在Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線，且 。

∴直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

例題解析

例1：(即課本例1)

說明：本題難度不大，又有助于學(xué)生加深對性質(zhì)定理的理解，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索解法：

如圖4.5－4，欲求對角線BD的長，由于∠BAD=90°，AB=4cm，則只要再找出Rt△ABD中一條直角邊的長，或一個銳角的度數(shù)，再從已知條件∠AOD=120°出發(fā)，應(yīng)用矩形的性質(zhì)可知，∠ADB=30°，另外，還可以引導(dǎo)學(xué)生探究△AOB是什么特殊的三角形（等邊三角形），課本用了第一種解法，并給出了解幾何計算題書寫格式的示范；第二種解法如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD（矩形的對角線相等）。

又  。

∴OA＝BO，△AOB是等腰三角形，

∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°- 120°=60°

∴∠AOB是等邊三角形。

∴ BO＝AB＝4cm，

∴ BD＝2BO=24×4cm=8cm。

例2：（補充例題）

已知：如圖4．5－5四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， E是AC的中點，EF平分∠BED交BD于點F。

（l）猜想：EF與BD具有怎樣的關(guān)系？

（2）試證明你的猜想。

解：（l）EF垂直平分BD。

（2）證明：∵∠ABC=90°，點E是AC的中點。

∴ （直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）。

同理： 。

∴BE=DE。

又∵EF平分∠BED。

∴EF⊥BD，BF=DF。

說明：本例是一道不給出“結(jié)論”，需要學(xué)生自己觀察---猜想---討論的幾何命題，有助于發(fā)展學(xué)生的推理(包括合情推理和邏輯推理)能力。如果學(xué)生不適應(yīng)，或有困難，教師可根據(jù)實際情況加以引導(dǎo)，這種訓(xùn)練，重要的不是猜對了沒有？證明了沒有？而是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一種自己研究圖形性質(zhì)的過程，順便指出：求解本題的重要基礎(chǔ)是識圖技能----能從復(fù)雜圖形中分解出如圖4.5-6所示的三個基本圖形。

課堂練習(xí)

1.課本例1后練習(xí)題第2題。

2.課本例1后練習(xí)題第4題。

小結(jié)

1.矩形的定義：

2.歸納總結(jié)矩形的性質(zhì)：

對邊平行且相等

四個角都是直角

對角線平行且相等

3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

4．矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條對角線把矩形分成四個全等的等腰三角形。因此，有關(guān)矩形的問題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決。

作業(yè) 

l．課本習(xí)題4．3A組第2題。

2．課本復(fù)習(xí)題四A組第6、7題。

數(shù)學(xué)教案－矩形