平行線及平行公理

時間：2023-05-02 02:17:10 初中數(shù)學(xué)教案我要投稿

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平行線及平行公理

教學(xué)建議

1、教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)從實例中概括出平行線的概念，給出了平行線的記法和它的畫法，并引出了平行公理及其推論．

(2)重點、難點分析

本節(jié)的重點是：平行公理及其推論．承認“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”的幾何是歐氏幾何，否則是非歐幾何．由此可見，平行公理在幾何中的地位十分重要．在教學(xué)時，學(xué)生可以從用直尺和三角板畫平行線的畫圖過程中，理解平行公理．特別是真正地體會到公理中的“有且只有”的意義．

本節(jié)難點是：理解平行線的概念以及由平行公理導(dǎo)出其推論的過程定義中的“在同一平面內(nèi)”的這個前提，是為了區(qū)別立體幾何中異面直線的情況．教學(xué)時只要學(xué)生能意識到，空間的直線還存在另一種不相交的情形的，即異面直線．

另外，從平行公理推導(dǎo)出其推論的過程，滲透了反證法的思想．初中學(xué)生難于理解，教材對反證法既不作要求，也不必提出反證法這個詞，只要把道理說明白即可．

2、教法建議

（1）概念的引入：學(xué)生從教師創(chuàng)設(shè)的情景中，可以直觀地認識平行線．從實例中，體會平行線在現(xiàn)實中是存在的，并且有它固有的屬性，因此很有必要認真地研究它．當(dāng)然，我們首先要能深刻地理解它的定義．

（2）分析概念：教師可以舉一組圖形，幫助學(xué)生理解定義中強調(diào)的“在同一平面內(nèi)”這個前提條件．初步形成

（3）掌握平行線的畫法：學(xué)生剛開始接觸幾何，為降低難度，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，作圖時不要求學(xué)生寫出已知，求做，證明等步驟，只要保留作圖痕跡．通過作圖的教學(xué)使學(xué)生能準(zhǔn)確而迅速地畫出幾何圖形，為今后的幾何學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

（4）平行公理及其推論

在學(xué)生畫圖的過程中，教師可以提出問題，過直線外一點有幾條直線可以與已知直線平行呢？學(xué)生在動手操作后，可以體驗到公理的客觀存在性．并且可以讓有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同學(xué)，嘗試說明平行公理推論的正確性，通過說理，體會數(shù)學(xué)的嚴謹性與邏輯性．

教學(xué)設(shè)計示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1．了解平行線的概念，理解學(xué)過的描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句．

2．掌握平行公理及推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線；會用學(xué)過的幾何語句描述簡單的圖形和根據(jù)語句畫圖．

3．通過畫平行線和按幾何語句畫圖的題目練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力．

4．通過平行公理推論的推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和進行推理的能力．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．教師教法：嘗試法、引導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法．

2．學(xué)生學(xué)法：在教師的引導(dǎo)下，嘗試發(fā)現(xiàn)新知，造就成就感．

三、重點、難點及解決辦法

（－）重點

平行公理及推論．

（二）難點

平行線概念的理解．

（三）解決辦法

通過引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)新知、練習(xí)鞏固的方法來解決．

四、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、三角板、自制膠片．

五、師生互動活動設(shè)計

1．通過投影片和適當(dāng)問題創(chuàng)設(shè)情境，引入新課．

2．通過教師引導(dǎo)，學(xué)生積極思維，進行反饋練習(xí)，完成新授．

3．學(xué)生自己完成本課小結(jié)．

六、教學(xué)步驟

（－）明確目標(biāo)

掌握平行公理及其推論的應(yīng)用，能畫出平行線，會用幾何語句描述圖形的畫法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．

（二）整體感知

以情境引出課題，以生活知識和已有的知識為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平行公理及其推論，并以變式訓(xùn)練強化和鞏固新知．

（三）教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：前面我們學(xué)習(xí)了兩條直線相交的情形，下面清同學(xué)們看投影片．觀察投影片中的鐵路橋梁以及立在路邊的三根電線桿，再請同學(xué)們觀察黑板相對的兩條邊和橫格本中兩條橫線，若把它們向兩方延長，看成直線，它們還是相交直線嗎？

學(xué)生齊聲答：不是．

師：因此，平面內(nèi)的兩條直線除了相交以外，還有不相交的情形，這就是我們本節(jié)所要研究的內(nèi)容．（板書課題）

［板書］24．平行線及平行公理

【教法說明】通過具體的實物和實物的圖形，使學(xué)生建立起不相交的感性認識，同時在頭腦中初步形成平行線的圖形．

探究新知，講授新課

師：在我們生活的周圍，平面內(nèi)不相交的情形還有許多，你能舉例說明嗎？

學(xué)生：窗戶相對的棱，桌面的對邊，書的對邊……

師：我們把它們向兩方無限延伸，得到的直線總也不會相交．我們把這樣的直線叫做平行線．

［板書］在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．

【教法說明】初中幾何必須重視幾何概念的直觀性，所以讓學(xué)生多觀察實物形狀，在形成了感性認識的基礎(chǔ)上，認識數(shù)學(xué)名稱，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的實在性，減少抽象性．

教師出示投影片（課本第74頁圖2–17）．

師：請同學(xué)們觀察，長方體的棱與無論怎樣延長，它們會不會相交？

學(xué)生：不會相交．

師：那么它們是平行線嗎？

學(xué)生：不是．

師：也就是說平行線的定義必須有怎樣的前提條件？

學(xué)生：在同一平面內(nèi)．

師：誰能說為什么要有這個前提條件？

學(xué)生：因為空間里，不相交的直線不一定平行．

【教法說明】通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生觀察分析，自己得出結(jié)論，從而使學(xué)生切實體會到平行線的“在同一平面內(nèi)”這個前提條件的重要性．

教師在黑板上給出課本第73頁圖2–16．

講解：平行用符號“ ”表示，如圖直線與是平行線記作“ ”（或）讀作“ 平行于 ”（或平行于）也就是說平行是相互的．

【教法說明】這里教師不必贅述，讓學(xué)生清楚平行線符號表示、讀法和記法就可以了，對于平行線的圖形經(jīng)常會使用變式圖形，不要總是橫平豎直的，以防形成思維定式．

師：請同學(xué)們思考，在同一平面內(nèi)任意畫兩條不同的直線，它們的位置關(guān)系只能有幾種情況，試畫一畫，同桌的可以討論．

學(xué)生：兩種．相交和平行．

由此師生共同小結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）

1．判斷正誤

（1）兩條不相交的直線叫做平行線．（）

（2）有且只有一個公共點的兩直線是相交直線．（）

（3）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定平行．（）

（4）一個平面內(nèi)的兩條直線，必把這個平面分為四部分．（）

2．下列說法中正確的是（）

A．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、垂直、平行三種．

B．在同一平面內(nèi)，不垂直的兩直線必平行．

C．在同一平面內(nèi)，不平行的兩直線必垂直．

D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線一定不垂直．

學(xué)生活動：學(xué)生回答，并簡要說明理由．

【教法說明】這組練習(xí)旨在鞏固學(xué)生掌握平行線定義及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，通過判斷（1）、（3）題讓學(xué)生進一步體會平行線的“在同一平面內(nèi)”的前提條件，通過判斷（2）、（4）題和選擇題使學(xué)生對兩直線位置關(guān)系，尤其是對垂直是相交的一種特殊情況有更深層的理解．

師：我們很容易畫出兩條相交直線，而對于平行線的畫法，我們在小學(xué)就學(xué)過用直尺和三角板畫，下面清同學(xué)在練習(xí)本上完成下面題目（投影顯示）．

已知直線和外一點，過點畫直線，使．

師：請根據(jù)語句，自己畫出已知圖形．

學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上畫出圖形．

師：下面請你們按要求畫出直線．

學(xué)生活動：學(xué)生能夠很快完成，然后請一個學(xué)生在黑板上板演，其他學(xué)生觀察他的畫圖過程是否正確，然后師生一起訂正．

注意：（1）在推動三角尺時，直尺不要動；

（2）畫平行線必須用直尺三角板，不能徒手畫．

【教法說明】畫平行線是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的畫圖中常常會遇到，要求學(xué)生使用工具，不僅能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也能培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）．

1．畫線段，畫任意射線，在上取、、三點，使，連結(jié) ，用三角板畫，，分別交于、，量出、、的長（精確到）．

2．讀下列語句，并畫圖形

（1）點是直線外的一點，直線經(jīng)過點，且與直線平行．

（2）直線、是相交直線，點是直線、外的一點，直線經(jīng)過點與直線平行與直線相交于．

（3）過點畫，交的延長線于．

學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上按要求畫圖，并由兩個學(xué)生在黑板上畫第2題的（2）、（3）題，學(xué)生畫完后教師給出第1題的圖形（提前做好的投影片），請學(xué)生回答測量的結(jié)果，然后共同訂正第2題的（2）、（3）題．

【教法說明】這組練習(xí)重點鞏固平行線的畫法及理解描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句，能夠根據(jù)語句畫出正確圖形，注意要求學(xué)生用準(zhǔn)確的幾何語言反映圖形，同時真正理解幾何語言才能畫好圖形．

師：我們練習(xí)了過直線外一點畫已知直線的平行線，請同學(xué)們回憶，過直線外一點能不能畫直線的垂線，能畫幾條？

學(xué)生活動：學(xué)生思考并回答，能畫，而且只能畫一條．

師：下面請你試一試，前面我們完成的過直線外一點與已知直線平行的直線可以畫幾條，想一想，你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生活動：學(xué)生動手操作，思考后總結(jié)出結(jié)論：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．

師：我們把這個結(jié)論叫平行公理，教師板書．

【板書】平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．

【教法說明】學(xué)生對垂線的惟一性比較熟悉，通過對惟一性的回顧，學(xué)生能夠用類比的思想，把自己動手得到的實驗結(jié)論采用準(zhǔn)確的幾何語言描述出來，這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生善于類比的思想，同時也訓(xùn)練了學(xué)生語言的規(guī)范性．

師：過直線外一點，能畫這條直線的惟一平行線，若沒有條件“過直線外一點”，問你能畫已知直線的平行線嗎？能畫多少條？

學(xué)生：思考后，立即回答，能畫無數(shù)條．

師：請同學(xué)們在練習(xí)本上完成．

（出示投影）

已知直線，分別畫直線、，使，．

學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上完成．

師：請同學(xué)們觀察，直線、能不能相交？

學(xué)生活動：觀察，回答：不相交，也就是說．

師：為什么呢？同桌可以討論．

學(xué)生活動：學(xué)生積極討論，各抒己見．

【教法說明】幾何的學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生有較強的識圖能力，而且要求學(xué)生有過硬的分析能力，也就是說理能力．初一幾何課是幾何課的起始課，從開始就讓學(xué)生養(yǎng)成自己動手、動腦、思考、分析問題的習(xí)慣，即加強幾何思維不慣的培養(yǎng)，這是個很重要的內(nèi)容．

學(xué)生活動：教師讓學(xué)生積極發(fā)表意見，然后給出正確的引導(dǎo)．

師：我們觀察圖形，如果直線與相交，設(shè)交點為，那么會產(chǎn)生什么問題呢？請同學(xué)們討論．

學(xué)生活動：學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下思考、討論，得出結(jié)論．

師：同學(xué)們想得很好，因為，，于是過點就有兩條直線、都與平行，根據(jù)平行公理，這是不可能的，這就是說，與不能相交，只能平行，由此我們得到平行公理的推論．

［板書］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．

師：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行的，那么不相交的兩條射線（或線段）也是平行的，對嗎？為什么？

學(xué)生活動：學(xué)生思考，回答：不對，給出反例圖形，

例如：如圖1所示，射線與就不相交，也不平行．

師：同學(xué)們想一想，當(dāng)我們說兩條射線或線段平行時，實際上是什么平行才可以呢？

生：它們所在的直線平行．

嘗試反饋，鞏固練習(xí)（投影）

填空：∵ ，（已知），