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數(shù)學教案-三元一次方程組的解法舉例
教學建議
一、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握三元一次方程組的解法,教學難點 是解法的靈活運用.能夠熟練的解三元一次方程組是進一步學習一次方程組的應用,以及一次不等式組的解法的基礎.
1.方程組有三個未知數(shù),每個方程的未知項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,這樣的方程組就是三元一次方程組.
2.三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元,即通過消元將三元一次方程組轉化為二元一次方程組,再轉化為一元一次方程.
3.如何消元,首先要認真觀察方程組中各方程系數(shù)的特點,然后選擇最好的解法.
4.有些特殊方程組,可用特殊的消元方法,有時一下子可消去兩個未知數(shù),直接求出一個未知數(shù)值來.
5.解一次方程組的消元“轉化”基本思想,可以推廣到“四元”、“五元”等多元方程組,這是今后要學習的內容.
二、知識結構
三、教法建議
1. 解三元一次方程組時,由于方程較多,學生容易出錯.因此,應提醒學生注意,在消去一個未知數(shù)得出比原方程組少一個未知數(shù)的二元一次方程組的過程中,原方程組的每一個方程一般都至少要用到一次.
2. 消元時,先要考慮好消去哪一個未知數(shù).開始練習時,可以先把要消去的未知數(shù)寫出來(如教科書在分析中所寫的那樣),然后再進行消元.
在例2中,如果先確定消去 ,那么這三個方程兩兩分組的方法有3種;①與②,①與③,②與③.我們可以從中任選2種消去 .這里特別要注意選定2種后,必須消去同一個未知數(shù).如果違背了這一點,所得的兩個新方程雖然各含兩個未知數(shù),但由它們組成的方程組仍然含有三個未知數(shù),這在實際上沒有消元.
教學設計示例
一、素質教育目標
(一)知識教學點
1.知道什么是三元一次方程.
2.會解某個方程只有兩元的簡單的三元一次方程組.
3.掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元或一元的思路.
(二)能力訓練點
1.培養(yǎng)學生分析能力,能根據(jù)題目的特點,確定消元方法、消元對象.
2.培養(yǎng)學生的計算能力、訓練解題技巧.
(三)德育滲透點
滲透“消元”的思想,設法把未知數(shù)轉化為已知.
(四)美育滲透點
通過本節(jié)課的學習,滲透方程恒等變形的數(shù)學美,以及方程組解的奇異美.
二、學法引導
1.教學方法:觀察法、討論法、練習法.
2.學生學法:三元一次方程組比二元一次方程組要復雜些,有些題的解法技巧性較強,因此在解題前必須認真觀察方程組中各個方程的系數(shù)特點,選擇好先消去的“元”,這是決定解題過程繁簡的關鍵.一般來說應先消去系數(shù)最簡單的未知數(shù).
三、重點·難點·疑點及解決辦法
(一)重點
使學生會解簡單的三元一次方程組,經過本課教學進一步熟悉解方程組時“消元”的基本思想和靈活運用代入法、加減法等重要方法.
(二)難點
針對方程組的特點,選擇最好的解法.
(三)疑點
如何進行消元.
(四)解決辦法
加強理解二元及三元一次方程組的解題思想是“消元”,故在求解中為便于計算應選擇系數(shù)較簡單的未知數(shù)將它消去.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、自制膠片.
六、師生互動活動設計
1.教師先復習解二元一次方程組的解題思想及辦法,讓學生充分理解方程組的消元思想及方法.
2.教師由引例引出三元一次方程組,由學生思考、討論后解決如何消三元變二元,教師講解、小結.
3.由學生嘗試,解決例題.
4.學生練習,教師小結、講評.
七、教學步驟
(一)明確目標
本節(jié)課將學習如何求三元一次方程組的解.
(二)整體感知
通過復習二元一次方程組的解題思想,從而類推出三元一次方程組的解題思想及解題方法,讓學生牢牢抓住利用消元的思想化三元為二元,再化二元為一元的辦法來求解.
(三)教學過程
1.復習導入 、探索新知
(1)解二元一次方程組的基本方法有哪幾種?(2)解二元一次方程組的基本思想是什么?
甲、乙、丙三數(shù)的和是26,甲數(shù)比乙數(shù)大1,甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18,求這三個數(shù).
題目中有幾個未知數(shù)?含有幾個相等關系?你能根據(jù)題意列出幾個方程?
學生活動:回答問題、設未知數(shù)、列方程.
這個問題必須三個條件都滿足,因此,我們把三個方程合在一起,寫成下面的形式:
這個方程組有三個未知數(shù),每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組,就是我們要學的三元一次方程組.
怎樣解這個三元一次方程組呢?你能不能設法消云一個或兩個未知數(shù),把它化成二元一次方程組或一元一次方程?
學生活動:思考、討論后說出消元方案.
教師對學生的回答給予肯定或否定,糾正后說出消元方案:依照代入法,由較簡單的方程②,可得 ④,進一步將④分別代入①和③中,就可消去 ,得到只含 、 的二元一次方程組.
解:由②,得 ④
把④代入①,得 ⑤
把④代入③,得 ⑥
⑤與⑥組成方程組
解這個方程組得
把 代入④,得
∴
∴
注意:a.得二元一次方程組后,解二元一次方程的過程在練習本上完成.
b.得 , 后,求 ,要代入前面最簡單的方程④.
c.檢驗.
這道題也可以用加減法解,②中不含 ,那么可以考慮將①與③結合消去,與②組成二元一次方程組.
學生活動:在練習本上用加減法解方程組.
【教法說明】通過一題多解,不僅能開闊學生的思維,培養(yǎng)學生的興趣,而且,可以鞏固解方程組時通過“消元”把未知轉化為已知的基本思想.
2.學生嘗試解決例題
例1 解方程組
學生活動:獨立分析、思考,嘗試解題,有的學生可能用代入法解,有的學生可能用加減法解,選一個用加減法解的學生板演,然后,讓用代入法的學生比較哪種方法簡單.
解:②×3+③,得 ④
①與④組成方程組
解這個方程組,得
把 , 代入②,得
∴
∴
歸納:這個方程組的特點是方程①不含 ,而②、③中 的系數(shù)絕對值成整數(shù)倍關系,顯然用加減法從②、③中消去 后,再與①組成只含 、 的二元一次方程組的解法最為合理.而用代入法由①得到的式子含有分母,代入②、③較繁.
【教法說明】有了前例的基礎,讓學生獨立嘗試解題,可以培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力;在解題后歸納題目的特點為,點明消元方法和消元對象,更有助于學生探索方法、掌握技巧.
3.嘗試反饋,鞏固知識
練習:P30 (1).
學生活動:獨立完成練習后,同桌、前后桌之間按不同解法的同學交換,看哪種方法最簡單.
4.變式訓練要,培養(yǎng)能力
補例:解方程組
學生活動:獨立完成.
【教法說明】此方程組中方程①、③中 、 的系數(shù)完全相同,用③-①可直接得到 ,再把 代入②可求 ,代入①可求 .這道題直接化三元為一元,能使學生體會到解法技巧的重要性,覺得數(shù)學問題真是奧妙無窮!
(四)總結、擴展
1.解三元一次方程組的基本思想是什么?方法有哪些?
2.解題前要認真觀察各方程的系數(shù)特點,選擇最好的解法,當方程組中某個方程只含二元時,一般的,這個方程中缺哪個元,就利用另兩個方程用加減法消哪個元;如果這個二元方程系數(shù)較簡單,也可以用代入法求解.
3.注意檢驗.
【教法說明】這樣總結,既突出了本課重點,又突出了本節(jié)內容中例題、習題的特點—某個方程只含兩元,使學生在以后解題時有很強的針對性.
八、布置作業(yè)
(一)必做題:P31 A組1.
(二)選做題:解方程組
(三)思考題:課本第32頁“想一想”.
【教法說明】作業(yè) (一)是為了鞏固本節(jié)所學知識;作業(yè) (二)有很強的技巧性,可培養(yǎng)學生興趣;作業(yè) (三)培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.
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