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第二冊(cè)不等式基本性質(zhì)
不等式的基本性質(zhì)
劉宏光 （寧夏銀川第二中學(xué)）
作者簡(jiǎn)歷
劉宏光 廣東揭陽(yáng)人，19565年畢業(yè)于北京工業(yè)學(xué)院機(jī)械系，1953年任太原機(jī)械制造廠數(shù)學(xué)力學(xué)教師，1986年被授予中學(xué)特級(jí)教師，1988年被評(píng)為寧夏回族自治區(qū)中學(xué)高級(jí)教師。1985年被評(píng)為寧夏銀川市優(yōu)秀班主任，1986年獲全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)拢⒈蝗珖?guó)總工會(huì)授予全國(guó)優(yōu)秀教育工作者稱(chēng)號(hào)�，F(xiàn)任寧夏銀川二中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)。
教學(xué)目的
掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。
教學(xué)過(guò)程
師：我們已學(xué)過(guò)等式，不等式，現(xiàn)在我們來(lái)看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請(qǐng)同學(xué)們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？
第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.
第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.
生：第一組都是等式，第二組都是不等式。
師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？
生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。
師：在數(shù)學(xué)熾，我們用等號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系，用不等式號(hào)“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系，其中“＞”和“＜”表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。
前面我們學(xué)過(guò)了等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？
生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式。
師：很好！當(dāng)我們開(kāi)始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到，是否有與等式相類(lèi)似的性質(zhì)，也就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，結(jié)果將會(huì)如何呢？讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。
練習(xí)1 (回答)用小于號(hào)“<”或大于號(hào)“>”填空。
（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6
練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個(gè)不等式出發(fā)，進(jìn)行下面的運(yùn)算。
（1）兩邊都加上（或都減去）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？
生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號(hào)的方向不變；在第（3）題中，結(jié)果是不等號(hào)的方向改變了！
師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真，大家再進(jìn)一步探討一下，在什么情況下不等號(hào)的方向就會(huì)發(fā)生改變呢？
生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)的情況下，不等號(hào)的方向要改變。
師：有沒(méi)有不同的意見(jiàn)？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學(xué)不放心，讓我們?cè)僮鲆恍┰囼?yàn)。
練習(xí)3（口答）分別在下面四個(gè)不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號(hào)的方向是否改變：
7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。
師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)有三條：
性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向 。
（讓同學(xué)回答。）
性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）
性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）
現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開(kāi)課本，一起朗讀用黑體字寫(xiě)的三條基本性質(zhì)。
不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，先請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)第一條基本性質(zhì)。
生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。
師：對(duì)a和b有什么要求嗎？對(duì)c有什么要求？
生：沒(méi)有什么要求。
師：哪位同學(xué)來(lái)回答第二、三條性質(zhì)？
生甲：如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或 )；如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或
生乙：如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或 )；如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或
師：這兩條性質(zhì)中，對(duì)a、b、c有什么要求？
生：對(duì)a、b沒(méi)什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。
師：很好，c可以為零嗎？
生：c不能為零。因?yàn)閏為零時(shí)，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。
師：好！應(yīng)用剛才學(xué)到的基本性質(zhì)，我們來(lái)看下面的例題。
[例1]按照下列條件，寫(xiě)出仍能成立的不等式：
（1）5＜9，兩邊都加上-3；
（2）9＞4，兩邊都減去10；
（3）-5＜3，兩邊都乘以4；
（4）14＞-8，兩邊都除以-2。
解 （1）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號(hào)的方向不變，所以
5+（-3）＜9+（-3），
2＜6
（2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得
9-10＞4-10
-1＞-6
（3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得
-5×4＜3×4
-20＜12
（4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得
14÷（-2）＜（-8）÷（-2）
-7＜4
[例2]設(shè)a＞b，用不等號(hào)連結(jié)下列各題中的兩式：
（1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b.
師：哪一位同學(xué)來(lái)做這題？解題時(shí)，要講清一步的理由。
生甲：因?yàn)閍＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質(zhì)1，得
a-3＞b-3．
師：很好，大家都是這樣做的嗎？
生乙：我是這樣做的，因?yàn)閍＞b,兩邊都加上（-3），由基本性質(zhì)1，得
a-3＞b-3．
師：好！這兩位同學(xué)從不同的角度來(lái)分析題目，都得到了正確的結(jié)論。
生丙：因?yàn)閍＞b，2＞0，由基本性質(zhì)2，得2a＞2b。
生�。阂�?yàn)閍＞b，-1＞0，由基本性質(zhì)3，得-a＞-b。
師：下面我們來(lái)看一組較復(fù)雜的問(wèn)題，請(qǐng)大家都來(lái)開(kāi)動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。[例3]判斷以下各題的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明都理由：
(1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd;
(2)如果a>b,那么ac2>bc2;
(3)如果ac2>bc2,那么a>b;
(4) 如果a>b,那么a-b>0;
(5)如果ax>b,且a≠0，那么x< ;
(6)如果a+b>a;
生甲：（1）不對(duì)，當(dāng)c=d≤0時(shí)，ac＞bd不成立。
生乙：（2）也不對(duì)，因?yàn)閏2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，ac2＞bc2不成立。
生丙：（3）對(duì)，因?yàn)閍c2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得a＞b出。
（4）對(duì)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。
（5）不對(duì)，當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得 。
（6）不對(duì)，因?yàn)楫?dāng)b＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得a+b＜a；而當(dāng)b=0時(shí)，則有a+b=a。
師：同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用。
課外做以下作業(yè) ：略。
教案說(shuō)明
（1） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，是分成兩個(gè)階段進(jìn)行的。在初中階段，對(duì)不等式的基本性質(zhì)，并不作證明，只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法，歸納出三條基本性質(zhì)。通過(guò)試驗(yàn)，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法�？茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)，大多離不開(kāi)試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀察，也需要試驗(yàn)�！蓖ㄟ^(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義。當(dāng)然通過(guò)幾個(gè)特殊的試驗(yàn)，就得出一般的結(jié)論，是不嚴(yán)密的。但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴(yán)密的。
（2） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，還應(yīng)采用對(duì)比的方法。學(xué)生已學(xué)過(guò)等式和等式的性質(zhì)，為了便于和加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解，在教學(xué)過(guò)程 中，應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較：強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式，這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，當(dāng)這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零時(shí)，對(duì)不等式的方向，有什么不同的影響。通過(guò)這樣的對(duì)比，不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的等式有關(guān)知識(shí)，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì)。對(duì)比的方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。
（3） 在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，學(xué)生對(duì)不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關(guān)系比較容易。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較。對(duì)于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時(shí)，根據(jù)題給的條件，運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號(hào)方向，就比較困難。因?yàn)樗容^抽象，特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí)，學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個(gè)用字母表示的數(shù)的符號(hào)是什么，或者還要對(duì)這個(gè)用字母表示的數(shù)，按正數(shù)、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過(guò)程 中，對(duì)于這類(lèi)題目，采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r(shí)，學(xué)生可以充分發(fā)表各種見(jiàn)解。對(duì)于正確的見(jiàn)解，教師可以讓學(xué)生說(shuō)出解題的依據(jù)；對(duì)于錯(cuò)誤的見(jiàn)解，教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)動(dòng)學(xué)生自己找出錯(cuò)誤的原因，自己修正見(jiàn)解。這樣，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有的放矢地解決問(wèn)題，有利于深化對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。
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