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高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案
作為一位不辭辛勞的人民教師,往往需要進(jìn)行教案編寫工作,教案有助于順利而有效地開展教學(xué)活動。那要怎么寫好教案呢?下面是小編為大家收集的高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案1
證明數(shù)列是等比數(shù)列
an=(2a-6b)n+6b
當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時(shí),顯然是常數(shù)列,即2a-6b=0
這個(gè)是顯然的東西,但是我不懂怎么證明
常數(shù)列嗎.所以任何一個(gè)K和M都應(yīng)該有ak=amak=(2a-6b)k+6b am=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因?yàn)閍k-am恒為0k m任意所以一定有2a-6b=0即a=3b
補(bǔ)充回答:題目條件看錯(cuò),再證明當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)
2a-6b=0
因?yàn)榈缺萢3:a2=a2:a1
即(6a-12b)-2a=(4a-6b)^2
a^2-6ab+9b^2=0
即(a-3b)^2=0
所以肯定有a=3b成立
2
數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n-2-2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]-2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)-2^n/2^2
=(n+1)2^n/4
=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1個(gè)式子相加得到:
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右邊是等差數(shù)列,且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
所以:
an-2=n^2-n
an=n^2-n+2
4、
已知數(shù)列{3-2的N此方},求證是等比數(shù)列
根據(jù)題意,數(shù)列是3-2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...
為了驗(yàn)證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項(xiàng)和它相鄰項(xiàng)的.比值是一個(gè)不依賴項(xiàng)次的固定比值就可以了.
所以第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別是3-2^n和3-2^(n+1),相比之后有:
[3-2^(n+1)]/(3-2^n)=2
因?yàn)楸戎凳?,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.
5
數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案2
一、課前檢測
1.在數(shù)列{an}中,an=1n+1+2n+1++nn+1,又bn=2anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.
解:由已知得:an=1n+1(1+2+3++n)=n2,
bn=2n2n+12=8(1n-1n+1) 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.
2.已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列 中, 。
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng);
(2)若數(shù)列 滿足 ,數(shù)列 的前 項(xiàng)的和為 ,求
解:(1)依題意, ,故可將 整理得:
所以 即
,上式也成立,所以
(2)
二、知識梳理
(一)前n項(xiàng)和公式Sn的'定義:Sn=a1+a2+an。
(二)數(shù)列求和的方法(共8種)
5.錯(cuò)位相減法:適用于差比數(shù)列(如果 等差, 等比,那么 叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以 的公比 ,向后錯(cuò)一項(xiàng),再對應(yīng)同次項(xiàng)相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。
如:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.
解讀:
6.累加(乘)法
解讀:
7.并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.
形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求。
解讀:
8.其它方法:歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等。
解讀:
三、典型例題分析
題型1 錯(cuò)位相減法
例1 求數(shù)列 前n項(xiàng)的和.
解:由題可知{ }的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{ }的通項(xiàng)之積
設(shè) ①
、 (設(shè)制錯(cuò)位)
、-②得 (錯(cuò)位相減)
變式訓(xùn)練1 (20xx昌平模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3,nN*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3, ①
當(dāng)n2時(shí),a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13. ②
、-②得3n-1an=13,an=13n.
在①中,令n=1,得a1=13,適合an=13n, an=13n.
(2)∵bn=nan,bn=n3n.
Sn=3+232+333++n 3n, ③
3Sn=32+233+334++n 3n+1. ④
、-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33++3n),
即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3, Sn=(2n-1)3n+14+34.
小結(jié)與拓展:
題型2 并項(xiàng)求和法
例2 求 =1002-992+982-972++22-12
解: =1002-992+982-972++22-12=(100+ 99)+(98+97)++(2+1)=5050.
變式訓(xùn)練2 數(shù)列{(-1)nn}的前20xx項(xiàng)的和S2 010為( D )
A.-20xx B.-1005 C.20xx D.1005
解:S2 010=-1+2-3+4-5++2 008-2 009+2 010
=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2 010-2 009)=1 005.
小結(jié)與拓展:
題型3 累加(乘)法及其它方法:歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等
例3 (1)求 之和.
(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn= (nN*),
,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)是( D )
A.S6 B.S5 C.S4 D.S3
解:(1)由于 (找通項(xiàng)及特征)
= (分組求和)= =
=
(2)D.
變式訓(xùn)練3 (1)(20xx福州八中)已知數(shù)列 則 , 。答案:100. 5000。
(2)數(shù)列 中, ,且 ,則前20xx項(xiàng)的和等于( A )
A.1005 B.20xx C.1 D.0
小結(jié)與拓展:
四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)
以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn),但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu),使
其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決,只要很好地把握這一規(guī)律,就能使數(shù)列求和化難為易,迎刃而解。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案3
數(shù)列
§3.1.1數(shù)列、數(shù)列的通項(xiàng)公式目的:要求學(xué)生理解數(shù)列的概念及其幾何表示,理解什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式,給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫?xiàng)公式,已知通項(xiàng)公式能夠求數(shù)列的項(xiàng)。
重點(diǎn):1數(shù)列的概念。按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng),數(shù)列的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng))。由數(shù)列定義知:數(shù)列中的數(shù)是有序的,數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn),這與數(shù)集中的`數(shù)的無序性、互異性是不同的。
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式,如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可以用一個(gè)關(guān)于n的公式來表示,這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N-(或?qū)挼挠邢拮蛹?的函數(shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)對自學(xué)成才的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的解析式。由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值,序號是自變量,所以以序號為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點(diǎn)。難點(diǎn):根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn),以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,一般比較困難,且有的數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式,如果有通項(xiàng)公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)要確定其一個(gè)通項(xiàng)公式,解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系,然后抽象成一般形式。過程:一、從實(shí)例引入(P110)1.堆放的鋼管4,5,6,7,8,9,102.正整數(shù)的倒數(shù)
3. 4. -1的正整數(shù)次冪:-1,1,-1,1,…
5.無窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù):1,1,1,1,…
二、提出課題:數(shù)列
1.數(shù)列的定義:按一定次序排列的一列數(shù)(數(shù)列的有序性)
2.名稱:項(xiàng),序號,一般公式,表示法
3.通項(xiàng)公式:與之間的函數(shù)關(guān)系式如數(shù)列1:數(shù)列2:數(shù)列4:
4.分類:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列;常數(shù)列;擺動數(shù)列;有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。
5.實(shí)質(zhì):從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N-(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值,通項(xiàng)公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。
6.用圖象表示:—是一群孤立的點(diǎn)例一(P111例一略)
三、關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)公式1.不是每一個(gè)數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式(如數(shù)列3)
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一如:數(shù)列4可寫成和
3.已知通項(xiàng)公式可寫出數(shù)列的任一項(xiàng),因此通項(xiàng)公式十分重要例二(P111例二)略
四、補(bǔ)充例題:寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前項(xiàng)分別是下列各數(shù):1.1,0,1,0. 2.,,,,3.7,77,777,7777 4.-1,7,-13,19,-25,31 5.,,,
五、小結(jié):1.數(shù)列的有關(guān)概念2.觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
六、作業(yè):練習(xí)P112習(xí)題3.1(P114)1、2
七、練習(xí):1.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空,關(guān)寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式;(1),,,( ),,…(2),( ),,,…
2.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1、 、 、 ; (2) 、 、 、 ; (3) 、 、 、 ; (4) 、 、 、 。
3.求數(shù)列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式
4.已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為0,,0,,則下列各式①an= ②an= ③an=其中可作為數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③
5.已知數(shù)列1,,,,3,…,,…,則是這個(gè)數(shù)列的( ) A.第10項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第12項(xiàng)D.第21項(xiàng)
6.在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式或序號n的一次函數(shù),求通項(xiàng)公式。
7.設(shè)函數(shù)( ),數(shù)列{an}滿足(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。
8.在數(shù)列{an}中,an=(1)求證:數(shù)列{an}先遞增后遞減;(2)求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)。答案:1. (1),an= (2),an= 2.(1)an= (2)an= (3)an= (4)an= 3.an=或an=這里借助了數(shù)列1,0,1,0,1,0…的通項(xiàng)公式an=。4.D 5.B 6. an=4n-2
7.(1)an= (2)<1又an<0, ∴是遞增數(shù)列
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案4
2。2。1等差數(shù)列學(xué)案
一、預(yù)習(xí)問題:
1、等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從 起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) ,那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 , 通常用字母 表示。
2、等差中項(xiàng):若三個(gè)數(shù) 組成等差數(shù)列,那么A叫做 與 的' ,
即 或 。
3、等差數(shù)列的單調(diào)性:等差數(shù)列的公差 時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列; 時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列; 時(shí),數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 。
4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: 。
5、判斷正誤:
、1,2,3,4,5是等差數(shù)列; ( )
②1,1,2,3,4,5是等差數(shù)列; ( )
、蹟(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列; ( )
、軘(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; ( )
⑤數(shù)列 是等差數(shù)列; ( )
、奕 ,則 成等差數(shù)列; ( )
、呷 ,則數(shù)列 成等差數(shù)列; ( )
、嗟炔顢(shù)列是相鄰兩項(xiàng)中后項(xiàng)與前項(xiàng)之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; ( )
、岬炔顢(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的差。 ( )
6、思考:如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。
二、實(shí)戰(zhàn)操作:
例1、(1)求等差數(shù)列8,5,2,的第20項(xiàng)。
。2) 是不是等差數(shù)列 中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?
。3)已知數(shù)列 的公差 則
例2、已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ,其中 為常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?
例3、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為 求這5個(gè)數(shù)。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案5
一、教材分析
1、教材的地位和作用:
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用,而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)。
2、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)教學(xué)大綱的要求和學(xué)生的實(shí)際水平,確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)
a在知識上:理解并掌握等差數(shù)列的概念;了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想;初步引入“數(shù)學(xué)建!钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用。
b在能力上:培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力;在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下,把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列,培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習(xí),提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
c在情感上:通過對等差數(shù)列的研究,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神;養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。
3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
根據(jù)教學(xué)大綱的要求我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:
、俚炔顢(shù)列的概念。
、诘炔顢(shù)列的通項(xiàng)公式的。推導(dǎo)過程及應(yīng)用。
由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項(xiàng)公式是這節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。同時(shí),學(xué)生對“數(shù)學(xué)建!钡乃枷敕椒ㄝ^為陌生,因此用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)。
二、學(xué)情教法分析:
對于三中的高一學(xué)生,知識經(jīng)驗(yàn)已較為豐富,他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段,具備了教強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力,所以我在授課時(shí)注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn),從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。
針對高中生這一思維特點(diǎn)和心理特征,本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法,通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲,使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動,以獨(dú)立思考和相互交流的形式,在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。
三、學(xué)法指導(dǎo):
在引導(dǎo)分析時(shí),留出學(xué)生的思考空間,讓學(xué)生去聯(lián)想、探索,同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑,圍繞中心各抒己見,把思路方法和需要解決的問題弄清。
四、教學(xué)程序
本節(jié)課的教學(xué)過程由
。ㄒ)復(fù)習(xí)引入
(二)新課探究
。ㄈ⿷(yīng)用舉例
(四)反饋練習(xí)
。ㄎ澹w納小結(jié)
(六)布置作業(yè),六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。
(一)復(fù)習(xí)引入:
1、從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列可看作是定義域?yàn)開_________對應(yīng)的一列函數(shù)值,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的______。(N﹡;解析式)
通過練習(xí)1復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容,為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)列問題作準(zhǔn)備。
2、小明目前會100個(gè)單詞,他她打算從今天起不再背單詞了,結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個(gè)單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為:100,98,96,94,92 ①
3、 小芳只會5個(gè)單詞,他決定從今天起每天背記10個(gè)單詞,那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為5,10,15,20,25 ②
通過練習(xí)2和3引出兩個(gè)具體的等差數(shù)列,初步認(rèn)識等差數(shù)列的特征,為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ),為學(xué)習(xí)新知識創(chuàng)設(shè)問題情站境,激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生觀察兩個(gè)數(shù)列特點(diǎn),引出等差數(shù)列的概念,對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。
(二) 新課探究
1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念:
如果一個(gè)數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的'公差,通常用字母d來表示。強(qiáng)調(diào):
、 “從第二項(xiàng)起”滿足條件;
、诠頳一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得;
③每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)(強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)” );
在理解概念的基礎(chǔ)上,由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式:
an+1-an=d (n≥1)同時(shí)為了配合概念的理解,我找了5組數(shù)列,由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列,是等差數(shù)列的找出公差。
1、 9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=-1
2、 0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……;√ d=0.01
3、 0,0,0,0,0,0,……。; √ d=0
4、 1,2,3,2,3,4,……;×
5、 1,0,1,0,1,……×
其中第一個(gè)數(shù)列公差<0,>0,第三個(gè)數(shù)列公差=0
由此強(qiáng)調(diào):公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),也可以是0
2、第二個(gè)重點(diǎn)部分為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
在歸納等差數(shù)列通項(xiàng)公式中,我采用討論式的教學(xué)方法,《高中數(shù)學(xué)說課稿:等差數(shù)列》。給出等差數(shù)列的首項(xiàng),公差d,由學(xué)生研究分組討論a4的通項(xiàng)公式。通過總結(jié)a4的通項(xiàng)公式由學(xué)生猜想a40的通項(xiàng)公式,進(jìn)而歸納an的通項(xiàng)公式。整個(gè)過程由學(xué)生完成,通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識又化解了教學(xué)難點(diǎn)。
若一等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得:
a2 - a1 =d 即: a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d,進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:
an=a1+(n-1)d
此時(shí)指出:這種求通項(xiàng)公式的辦法叫不完全歸納法,這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密,為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項(xiàng)公式的辦法------迭加法:
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
將這(n-1)個(gè)等式左右兩邊分別相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)
當(dāng)n=1時(shí),(1)也成立,所以對一切n∈N﹡,上面的公式都成立
因此它就是等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
在迭加法的證明過程中,我采用啟發(fā)式教學(xué)方法。
利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n-1個(gè)等式。
對照已歸納出的通項(xiàng)公式啟發(fā)學(xué)生想出將n-1個(gè)等式相加。證出通項(xiàng)公式。
在這里通過該知識點(diǎn)引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想,逐步達(dá)到“注重方法,凸現(xiàn)思想” 的教學(xué)要求
接著舉例說明:若一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是1,公差是2,得出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是:an=1+(n-1)×2 ,即an=2n-1 以此來鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用
同時(shí)要求畫出該數(shù)列圖象,由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù),其圖像是均勻排開的無窮多個(gè)孤立點(diǎn)。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列,使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。
。ㄈ⿷(yīng)用舉例
這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí),增強(qiáng)對通項(xiàng)公式含義的理解以及對通項(xiàng)公式的運(yùn)用,提高解決實(shí)際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明:要用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的a1、d、n、an這4個(gè)量之間的關(guān)系。當(dāng)其中的部分量已知時(shí),可根據(jù)該公式求出另一部分量。
例1 (1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng);第30項(xiàng);第40項(xiàng)
(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?
在第一問中我添加了計(jì)算第30項(xiàng)和第40項(xiàng)以加強(qiáng)鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式;第二問實(shí)際上是求正整數(shù)解的問題,而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
例2 在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首項(xiàng)a1與公差d。
在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對通項(xiàng)公式的鞏固
例3 是一個(gè)實(shí)際建模問題
建造房屋時(shí)要設(shè)計(jì)樓梯,已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米,第三層離地面5.8米,若樓梯設(shè)計(jì)為等高的16級臺階,問每級臺階高為多少米?
這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生注意每級臺階“等高”使學(xué)生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生將該實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型------等差數(shù)列:(學(xué)生討論分析,分別演板,教師評析問題。問題可能出現(xiàn)在:項(xiàng)數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項(xiàng),應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度,a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17,可用課件展示實(shí)際樓梯圖以化解難點(diǎn))。
設(shè)置此題的目的:1.加強(qiáng)同學(xué)們對應(yīng)用題的綜合分析能力,2.通過數(shù)學(xué)實(shí)際問題引出等差數(shù)列問題,激發(fā)了學(xué)生的興趣;3.再者通過數(shù)學(xué)實(shí)例展示了“從實(shí)際問題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型,最后還原說明實(shí)際問題的“數(shù)學(xué)建模”的數(shù)學(xué)思想方法
。ㄋ模┓答伨毩(xí)
1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題(要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成)。目的:使學(xué)生熟悉通項(xiàng)公式,對學(xué)生進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。
2、書上例3)梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。計(jì)算中間各級的寬度。
目的:對學(xué)生加強(qiáng)建模思想訓(xùn)練。
3、若數(shù)例{an} 是等差數(shù)列,若 bn = k an ,(k為常數(shù))試證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列
此題是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)列問題提高訓(xùn)練,學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時(shí)強(qiáng)化了等差數(shù)列的概念。
。ㄎ)歸納小結(jié)(由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲)
1、等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式。
強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字:從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= a1+(n-1) d會知三求一
3、用“數(shù)學(xué)建模”思想方法解決實(shí)際問題
。┎贾米鳂I(yè)
必做題:課本P114 習(xí)題3.2第2,6 題
選做題:已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-24,從第10項(xiàng)開始為正數(shù),求公差d的取值范圍。
。康模和ㄟ^分層作業(yè),提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求)
五、板書設(shè)計(jì)
在板書中突出本節(jié)重點(diǎn),將強(qiáng)調(diào)的地方如定義中,“從第二項(xiàng)起”及“同一常數(shù)”等幾個(gè)字用紅色粉筆標(biāo)注,同時(shí)給學(xué)生留有作題的地方,整個(gè)板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案6
教學(xué)目標(biāo):明確等差數(shù)列的定義,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,會解決知道an,a1,d,n中的三個(gè),求另外一個(gè)的問題;培養(yǎng)學(xué)生觀察能力,進(jìn)一步提高學(xué)生推理、歸納能力,培養(yǎng)學(xué)生的'應(yīng)用意識.
教學(xué)重點(diǎn):1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用.教學(xué)過程:
、.復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的'定義及給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式.這兩個(gè)公式從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn),下面我們看這樣一些例子
、.講授新課10,8,6,4,2,…; 21,21,22,22,23,23,24,24,25 2,2,2,2,2,…首先,請同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)?是否可以寫出這些數(shù)列的通項(xiàng)公式?(引導(dǎo)學(xué)生積極思考,努力尋求各數(shù)列通項(xiàng)公式,并找出其共同特點(diǎn))它們的共同特點(diǎn)是:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的“差”都等于同一個(gè)常數(shù).也就是說,這些數(shù)列均具有相鄰兩項(xiàng)之差“相等”的特點(diǎn).具有這種特點(diǎn)的數(shù)列,我們把它叫做等差數(shù)列.
1.定義等差數(shù)列:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得:(n-1)個(gè)等式若將這n-1個(gè)等式左右兩邊分別相加,則可得:an-a1=(n-1)d即:an=a1+(n-1)d當(dāng)n=1時(shí),等式兩邊均為a1,即上述等式均成立,則對于一切n∈N-時(shí)上述公式都成立,所以它可作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.看來,若已知一數(shù)列為等差數(shù)列,則只要知其首項(xiàng)a1和公差d,便可求得其通項(xiàng).由通項(xiàng)公式可類推得:am=a1+(m-1)d,即:a1=am-(m-1)d,則:an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d.如:a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
請同學(xué)們來思考這樣一個(gè)問題.如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件?由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得:A-a=b-A,即:a=.反之,若A=,則2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差數(shù)列.總之,A= a,A,b成等差數(shù)列.如果a、A、b成等差數(shù)列,那么a叫做a與b的等差中項(xiàng).例題講解[
例1]在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25.
思路一:根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項(xiàng),可求出a1和d,然后可得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式,便可求出a25.
思路二:若注意到已知項(xiàng)為a5與a15,所求項(xiàng)為a25,則可直接利用關(guān)系式an=am+(n-m)d.這樣可簡化運(yùn)算.思路三:若注意到在等差數(shù)列{an}中,a5,a15,a25也成等差數(shù)列,則利用等差中項(xiàng)關(guān)系式,便可直接求出a25的值.
[例2](1)求等差數(shù)列8,5,2…的第20項(xiàng).分析:由給出的三項(xiàng)先找到首項(xiàng)a1,求出公差d,寫出通項(xiàng)公式,然后求出所要項(xiàng)
答案:這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)為-49. (2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?分析:要想判斷-401是否為這數(shù)列的一項(xiàng),關(guān)鍵要求出通項(xiàng)公式,看是否存在正整數(shù)n,可使得an=-401. ∴-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).
、.課堂練習(xí)
1.(1)求等差數(shù)列3,7,11,……的'第4項(xiàng)與第10項(xiàng).
(2)求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項(xiàng). (3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,……的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,說明理由. 2.在等差數(shù)列{an}中,
(1)已知a4=10,a7=19,求a1與d;
(2)已知a3=9,a9=3,求a12.
、.課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式:an-an-1=d(n≥2).其次,要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),并掌握其基本應(yīng)用.最后,還要注意一重要關(guān)系式:an=am+(n-m)d的理解與應(yīng)用以及等差中項(xiàng)。
、.課后作業(yè)課本P39習(xí)題1,2,3,4
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