切線的判定定理教案

時(shí)間：2021-09-18 09:38:07 其它教案我要投稿

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切線的判定定理教案

　　【內(nèi)容概述】

切線的判定定理教案

　　證明圓的切線是近幾年中考常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。最常用的是利用“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

　　本內(nèi)容通過(guò)動(dòng)手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結(jié)歸納出兩種具體的證法：

　�、佼�(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱為“連半徑，證垂直”；

　�、诋�(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確時(shí)，可過(guò)圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱為“作垂直，證半徑”。

　　歸納總結(jié)后，馬上給予兩道對(duì)應(yīng)練習(xí)題鞏固理解兩種證明方法。

　　【教學(xué)重難點(diǎn)】

　　理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

　　【教學(xué)目標(biāo)】

　　掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進(jìn)一步培養(yǎng)使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

　　【教學(xué)過(guò)程】

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　平面內(nèi)直線和圓存在著三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關(guān)系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？

　�、藕蛨A只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（定義）

　�、频綀A心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）

　　除了這兩種方法，還有沒(méi)有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

　　活動(dòng)一：在練習(xí)本上畫一個(gè)圓O,做一個(gè)半徑OA,做一條直線L,使L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關(guān)系？為什么？你得到了什么結(jié)論？

　　切線判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的`一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　活動(dòng)二：分析定理。經(jīng)過(guò)直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　這個(gè)定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據(jù)這個(gè)判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個(gè)條件？分別是什么？

　　對(duì)定理的理解：①經(jīng)過(guò)半徑外端. ②垂直于這條半徑。

　　定理中的兩個(gè)條件缺一不可。

　　二、典型例題

　　例1：如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求證：直線AB是⊙O的切線。

　　證明：連結(jié)0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直線AB經(jīng)過(guò)半徑0C的外端C，

　　并且垂直于半徑0C，

　　∴AB是⊙O的切線。

　　【評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

　　例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D，請(qǐng)問(wèn)AB與以P

　　為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么？

　　證明：過(guò)P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等)

　　∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

　　∴AB與圓相切

　　【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例一和例二的解答，總結(jié)證明切線的兩種添加輔助線的方法。

　　三、知識(shí)應(yīng)用（練習(xí)）

　　1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上

　　的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，弦AC平分∠EAB。

　　求證：DE是⊙O的切線．

　�。鄯治觯荩阂蛑本€DE與⊙O有公共點(diǎn)C，故應(yīng)采用“連半徑，證垂直”的方法。

　　證明：連接OC，則OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等邊對(duì)等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代換）

　　∴AE∥CO，(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切線．

　　【評(píng)析】本題綜合運(yùn)用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理．一定要注意區(qū)分這兩個(gè)定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學(xué)們通過(guò)本題對(duì)這兩個(gè)定理有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯(cuò)誤的．這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯(cuò)誤的。

　　2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、

　　BC的中點(diǎn)，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

　�。鄯治觯荩阂蛑本€AB與⊙O無(wú)確定的公共點(diǎn)，故應(yīng)采用“作垂直，證半徑”方法。

　　證明：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H

　　∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

　　∴G點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB為⊙O的切線

　　四、小結(jié)升華

　　本節(jié)課里，你學(xué)到了哪些知識(shí)，它們是如何應(yīng)用的？