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求函數(shù)最小值
設(shè)x,y,z>0,且x+y+z=6.求函數(shù)
f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]
的最小值.
解 函數(shù)f(x,y,z)當(dāng)x=0,y=z=3時(shí),有最小值.最小值為2/9.
即證
(x^2+y^2+z^2)/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=2/9 (1)
即證
(x^2+y^2+z^2)*(x+y+z)^2/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=8 (2)
(2)<===>
Σx^4+2Σ(y+z)x^3-6Σ(yz)^2+2xyzΣx>=0 (3)
設(shè)x=min(x,y,z),(3)分解為
x(x+3y+3z)*(x-y)*(x-z)+xyz(x+y+z)
+[-3x^2+2x(y+z)+y^2+z^2+4yz]*(y-z)^2>=0
顯然成立.
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