數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和邏輯性

抽象性是任何一門科學(xué)均具有的共性，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和邏輯性

。然而，數(shù)學(xué)的抽象和其他自然科學(xué)不一樣。在數(shù)學(xué)的抽象中，僅僅保留了對(duì)象的量的特征，而完全舍棄了它們的質(zhì)的內(nèi)容。而且其抽象程序遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了自然科學(xué)中的一般抽象。例如對(duì)于自然數(shù)的認(rèn)識(shí)：1，2，3，…，101，102，103，…，1001，1002，1003，…無限制地繼續(xù)下去時(shí)，相應(yīng)的數(shù)距我們?cè)絹碓竭h(yuǎn)。很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的大數(shù)是決不可能由真實(shí)事物中直接抽象出來的，而只能依靠人的想象。這種想象的數(shù)，實(shí)際上是人的思維的產(chǎn)物，把它看成是一種“理想元素”。類似地直線的無限性，極限，有理數(shù)的稠密性，實(shí)數(shù)的連續(xù)性等概念，也都是理性思維的結(jié)果，不可能直接為人們所感知。然而，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)，隨著科學(xué)的發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)的深入，到了19世紀(jì)，高斯給出了復(fù)數(shù)（虛數(shù)）的幾何表示，幫助人們直觀地理解了它的真實(shí)意義，隨后又在流體力學(xué)中得到了應(yīng)用。在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中復(fù)數(shù)日益起著不可估量的作用，在19世紀(jì)中葉以后遂發(fā)展成一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支——復(fù)變函數(shù)論。
由此可見，理想元素對(duì)數(shù)學(xué)及科學(xué)實(shí)踐所起的積極作用。一般說來，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，理想元素在數(shù)學(xué)中占據(jù)著越來越重要的位置。正如數(shù)學(xué)史家M.克萊因所指出：1700年以后，越來越多的、更遠(yuǎn)離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌出的概念，進(jìn)入了數(shù)學(xué)。它們逐漸取代了那些“直接觀念性”的概念，并在數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。列寧曾指出：幻想是極其可貴的品質(zhì)，有人認(rèn)為，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數(shù)學(xué)上也需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分，

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《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和邏輯性》(http://www.lotusphilosophies.com)。由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性，就決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象思維特征，這種抽象性，當(dāng)尚未熟悉它的思維方法時(shí)，似乎感到很難把思維特征也是可以辦到的。
只要我們通過初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)課程的認(rèn)真學(xué)習(xí)，仔細(xì)體會(huì)它的概念和論證方法的抽象特征，自覺學(xué)習(xí)、運(yùn)用這種思維方法來思考和分析問題，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，便可逐步培養(yǎng)起這種抽象思維能力。借助于邏輯學(xué)的幫助而建立起來的數(shù)學(xué)體系，具有一個(gè)突出的特點(diǎn)，就是它在邏輯上的嚴(yán)密性。無論是在高等數(shù)學(xué)還是初等數(shù)學(xué)中，嚴(yán)密性都是至關(guān)重要的。雖然嚴(yán)密性是相對(duì)而言的，它隨著科學(xué)及數(shù)學(xué)的發(fā)展在變化著。過去被大數(shù)學(xué)家認(rèn)為是嚴(yán)密的證明，今天卻因其不完善而被拋棄的情形也屢見不鮮。然而，嚴(yán)密性的要求畢竟在始終不斷推進(jìn)著數(shù)學(xué)研究的向前發(fā)展，它使數(shù)學(xué)（特別是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面）在實(shí)質(zhì)上和面貌上發(fā)生了很大的變化�；�于這種意義，可以認(rèn)為，現(xiàn)今以一組不證明的命題、一組不定義的術(shù)語為基礎(chǔ)的公理數(shù)學(xué)，才是最嚴(yán)格最廣泛最抽象的科學(xué)體系。今天，我們?cè)?a class="channel_keylink" href="http://www.lotusphilosophies.com/" title="大學(xué)">大學(xué)或中學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，雖然沒有必要過分強(qiáng)調(diào)演繹論證的訓(xùn)練，但必要的邏輯推理訓(xùn)練是不可少的，因?yàn)樗�是�?chuàng)造性數(shù)學(xué)思維中不可少的工具。

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