費馬大定理證明過程

時間：2023-05-01 08:10:14 證明我要投稿

費馬大定理證明過程

原命題：Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零數(shù)）當(dāng)n為大于２的正整數(shù)時X、Y、Z，不可能都是正整數(shù)。

證明步驟如下：我們只要證明當(dāng)n為大于２的正整數(shù)時，X、Y、Z，不可能都是非零的有理數(shù)，原命題自然成立。

對于Xn+Yn=Zn來說如果等式二邊無論如何都找不到有理對應(yīng)關(guān)系，那么他們還有理數(shù)解嗎？我們知道等式二邊所有對應(yīng)關(guān)系可列成下面三種情況。

１、Xn+ Yn=Zn ２、Xn=Zn－Yn ３、Yn=Zn－Xn

分析第一種情況 Xn+ Yn=Zn

當(dāng)n等于３時，X３+ Y３=Z３

一方面由于等式左邊y不管取何非零值，都只能分解成關(guān)于X的二個有理因式，即：X３+ Y３＝（X+ Y）（X２+XY+ Y２）

另一方面，如果存在有理數(shù)解則Ｘ與Ｚ之間必可通過有理置換，

如：Ｚ=Ｘ+某數(shù)形式

即：等式右邊Z３＝（Ｘ+某數(shù)）（Ｘ+某數(shù)）（Ｘ+某數(shù)）三個因式這樣，等式一邊永遠(yuǎn)無法變成Ｘ三個有理因式，等式另一邊總是可以變成Ｘ三個有理因式，因此出現(xiàn)了矛盾。

分析第二種情況 Xn=Zn－Yn

當(dāng)n等于３時 X３=Z３－Y３

一方面由于等式右邊Ｙ不管取何非零值，都只能分解成關(guān)于Ｚ的二個有理因式，

即：

右邊Z３－Y３＝（Z－Y）（Z２+ＺＹ+Y２）二個有理因式

另一方面，如果存在有理數(shù)解則Ｚ與Ｘ之間必可通過有理置換，

如：Ｘ=Ｚ-有理數(shù)

等式左邊X３=（Ｚ-有理數(shù)）（Ｚ-有理數(shù)）（Ｚ-有理數(shù)）三個因式

這樣，等式一邊永遠(yuǎn)無法變成Ｚ三個有理因式，等式另一邊總是可以變成Ｚ的三個有理因式，因此出現(xiàn)了矛盾。

第三種情況和第二種情況是相似的。也就是說Ｘ、Ｙ、Ｚ為非零數(shù)時，所有的排列，都找不到等式二邊會有理對應(yīng)關(guān)系，因此當(dāng)n等于３時Ｘ、Ｙ、Ｚ不可能都是有理數(shù)，更談不上是整數(shù)。

當(dāng)n＝４時則Xn+Yn=Zn變成X４+Y４=Z４所有的排列有下面３種：

１、X４+ Y４=Z４

２、 X４=Z４－Y４３、 Y４=Z４－X４

分析第一種情況，１、X４+ Y４=Z４一方面由于等式左邊y不管取何非零值，都只能分

解成關(guān)于X的一個有理因式，另一方面，如果存在有理數(shù)解則Ｘ與Ｚ之間必可通過有理置換，如Ｚ=Ｘ+有理數(shù)

等式右邊Z４＝（Ｘ+有理數(shù)）（Ｘ+有理數(shù)）（Ｘ+有理數(shù)）（Ｘ+有理數(shù)）四個有理因式。這樣，等式一邊永遠(yuǎn)無法變成Ｘ四個有理因式，等式另一邊總是可以變成Ｘ四個有理因式，因此出現(xiàn)了矛盾。

分析第二種情況，２、X４=Z４－Y４

一方面由于等式右邊Ｙ不管取何非零值，都只能分解成關(guān)于Ｚ的三個有理因式即：Z４

－Y４＝（Ｚ-Ｙ）（Ｚ+Ｙ）（Ｚ２+Ｙ２）另一方面，如果存在有理數(shù)解則Ｚ與Ｘ之間必可通過有理置換如：Ｘ=Ｚ-有理數(shù)

等式左邊X４=（Ｚ-有理數(shù)）（Ｚ-有理數(shù)）（Ｚ-有理數(shù)）（Ｚ-有理數(shù)）四個有理因式這樣，等式一邊永遠(yuǎn)無法變成Ｚ四個有理因式，等式另一邊總是可以變成Ｚ的四個有理因式，因此出現(xiàn)了矛盾。

由此法不難類推，當(dāng)n等于其他大于２的整數(shù)時，等于二邊也無法有有理對應(yīng)關(guān)費馬大定理證明過程系。所以費馬的結(jié)論是對的。

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