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高中數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)反思
高中數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)反思
惠賓
我們數(shù)學(xué)老師大概都有與我同樣的經(jīng)歷：學(xué)生有道數(shù)學(xué)題不會(huì)做，經(jīng)過(guò)冥思苦想后還不得其解，于是來(lái)問(wèn)老師。老師經(jīng)過(guò)些許思考后，便能按部就班地把正確思路告訴學(xué)生，學(xué)生在發(fā)出“奧，原來(lái)是這樣”的感嘆后，高興地按照老師的思路重新再演練一遍，這道題就這樣做完了，看著學(xué)生滿意的神情，我們老師的成就感和至尊感油然而生。但是后來(lái)，有某個(gè)學(xué)生在問(wèn)題得到滿意解決后，并不十分滿意的問(wèn)了一個(gè)一貫的問(wèn)題：“老師，你是怎么想出這個(gè)解法的？我為什么怎么也想不到呢？”
學(xué)生第一次問(wèn)我這個(gè)問(wèn)題之前，我并沒(méi)有認(rèn)真思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，我記得當(dāng)時(shí)回答學(xué)生，這就要靠平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本題型、基本解法的積累最終固化為一種解題模式，就形成了以上的解法。學(xué)生聽(tīng)后還是滿意的走了，但留在哪里的我卻迷惑了。難道數(shù)學(xué)就是憑的是平時(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累嗎？那么學(xué)生面對(duì)考試中那些生題該怎么辦？還有說(shuō)數(shù)學(xué)是鍛煉人思維的學(xué)科嗎？數(shù)學(xué)是鍛煉人隨機(jī)應(yīng)變能力的嗎？還有，就是學(xué)生在自習(xí)課時(shí)，我不在，如果遇到了生題，難道就只能等待數(shù)學(xué)老師了嗎？這個(gè)問(wèn)題困擾了我較長(zhǎng)一段時(shí)間，考慮了很久也沒(méi)有徹底解決。后來(lái)我找到了一本書(shū)《怎樣解題》，作者叫波利亞。其中的怎樣解題表，在很大程度上解決了這個(gè)問(wèn)題。
“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書(shū)的精華，該表被波利亞排在該書(shū)的正文之前，并且在書(shū)中再三提到該表。實(shí)際上，該書(shū)就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟，只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻茉谄綍r(shí)的做題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣！”
第一，你必須弄清問(wèn)題
弄清問(wèn)題
未知數(shù)是什么？
已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？
條件是什么？
滿足條件是否可能？
要確定未知數(shù)，條件是否充分？
或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
畫(huà)張圖。
引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。
把條件的各個(gè)部分分開(kāi)。你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？
第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。
如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。
你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。
擬定計(jì)劃
你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？
你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？
看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。
這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎?
你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？
你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？
回到定義去。
如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？
你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？
第三，實(shí)行你的計(jì)劃。
實(shí)現(xiàn)計(jì)劃
實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。
你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？
第四，驗(yàn)算所得到的解。
回顧反思
你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來(lái)？
你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？
《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過(guò)程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)。他說(shuō)《怎樣解題》這本書(shū)就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧�！澳阋郧耙�(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？……”波利亞說(shuō)他在寫(xiě)這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過(guò)去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上是他解決和研究問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”�；剡^(guò)頭來(lái)想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問(wèn)題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過(guò)程。
我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過(guò)表中的某些問(wèn)題，只不過(guò)不自覺(jué)，沒(méi)有意識(shí)到這些問(wèn)題罷了。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問(wèn)題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問(wèn)題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的程度。按波利亞提出的這些問(wèn)題和建議去尋找解法，在解題的過(guò)程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。
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