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高中數(shù)學必修四教案(精華)
作為一位優(yōu)秀的人民教師,往往需要進行教案編寫工作,教案有助于順利而有效地開展教學活動。那么寫教案需要注意哪些問題呢?下面是小編整理的高中數(shù)學必修四教案,歡迎大家分享。
高中數(shù)學必修四教案1
一、教材分析
1.教學內容:《高中數(shù)學必修4》中第二章 “向量數(shù)乘運算及其幾何意義”這一節(jié),在新課標中主要內容有三方面:①向量數(shù)乘運算及其幾何意義的含義;②數(shù)乘運算的運算律;③平面向量共線定理。
2.地位與作用:向量數(shù)乘運算是學習向量其他運算以及空間向量的基礎,也是解決平面解幾、立幾、三角、復數(shù)的重要工具。因此,本節(jié)課的教學活動將對后續(xù)課程起著橋梁作用。教材通過復習引入新課,并通過三個探究活動,完成本節(jié)課的教學活動。
二、三維目標
根據(jù)新課標要求并結合學生具體實際,設計以下三維目標:
1.知識與技能
、耪莆障蛄繑(shù)乘運算及其幾何意義,數(shù)乘運算的運算律,并能熟練運用定義、運算律進行簡單的計算。
⑵理解向量共線定理及其推導過程,會應用向量共線定理判斷或證明兩個向量共線、三點共線及兩直線平行等簡單問題。
2.過程與方法
通過對兩個向量共線充要條件的探究與推導,讓學生對平面向量共線定理有更深刻的理解。為了幫助學生消化和鞏固相應的知識,本節(jié)課設置了三個例題及其變式引申;指導學生探究發(fā)現(xiàn),并得出結論,培養(yǎng)學生自主探究能力和創(chuàng)新思維能力 。
3.情感、態(tài)度與價值觀
通過向量數(shù)乘運算的學習和探究,有助于激發(fā)學生學習興趣和積極性,還有助于培養(yǎng)類比、分析、歸納、抽象思維能力以及邏輯推理能力。
三、重點、難點與疑點
1.重點:向量數(shù)乘運算的幾何意義、運算律,向量共線定理;
〖解決辦法〗為了突出重點,讓學生在創(chuàng)設問題鏈的驅動下合作探究,得出結論,發(fā)展學生的認知結構。
2.難點與疑點:向量共線定理的探究過程及其應用。
〖解決辦法〗為了突破難點與疑點,按照學生的認知規(guī)律、由淺入深地變式討論,達到全面理解。
四、學情分析與對策
學生已明確向量是有大小和方向的量,且已學過向量的加、減法,對于這種有方向的量能否與實數(shù)進行乘法運算有些疑問,且“相乘后方向如何判斷呢?”:這也就是本節(jié)課知識產生的背景。通過熟知的實數(shù)乘法作類比,探究向量數(shù)乘的含義,讓學生在此過程中,體驗數(shù)學知識的產生、發(fā)展、成熟和應用的過程。讓學生懂得學習,熱愛學習。
五、設計理念
高中新課程改革實驗的核心是轉變教師的`教學方式與學生的學習方式。而課堂教學的有效性及自主探究學習則是教與學普遍關心的問題。
基于這一層面的考慮,本節(jié)課采用“探究----研討”教學法。第一、“探究”。創(chuàng)設問題情境,將有關材料有層次地展示給學生,讓學生自主探究它。學生通過對這些“結構化”的材料進行探究,獲得對向量數(shù)乘的感性認識。 第二、“研討”。在形成感性認識的基礎上,組織學生進一步研討,教師可以跟學生一起分析、交流、補充、完善,使學生對向量數(shù)乘的含義從感性的認識上升到理性認識,獲得一定層次的科學概念。
除此之外,本節(jié)課從教材的實際出發(fā),通過類比、探究、精講、引申等系統(tǒng)地講授知識,提高學生主動參與、自主學習的能力,培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng);從學生的認知規(guī)律出發(fā),通過不斷地創(chuàng)設問題情境,啟發(fā)學生由淺入深地探究,從而得出規(guī)律性的結論;進一步提高課堂教學的有效性,讓學生真正學會學習。
六、教學程序設計
1.創(chuàng)設問題,引入新課
。1)如何求作兩個非零向量的和向量、差向量?
。2)相同的幾個數(shù)相加可以轉化為數(shù)乘運算,如3+3+3+3+3=5×3.那么相等的幾個向量相加是否也能轉化為數(shù)乘運算呢?這就是本節(jié)課要探究的問題。
[設計意圖]創(chuàng)設問題,讓學生在原有概念的基礎上,通過設問、類比等方法提出向量數(shù)乘運算及其幾何意義的概念,讓學生理解向量數(shù)乘運算知識產生的背景。
2.探究一:向量的數(shù)乘運算及其幾何意義
問題1:已知非零向量 ,如何求作向量 + + 和(- )+(- )?是向量嗎? 向量3a和-2a與向量a的大小和方向有什么關系?
[設計意圖]利用和向量的求法,讓學生先對兩個特殊向量的分析、而后引導學生推導出一般性結論,為理解平面向量共線定理埋下伏筆。
結論:一般地,實數(shù)λ與向量a(a≠0)的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作λa,該向量的長度、方向與向量a有什么關系?
。1)|λa|=|λ||a|;
。2)當λ>0時,λa與a方向相同;
當λ<0時,λa與a方向相反;
當λ=0時,λa =0(向量還是實數(shù)?).
3.探究二:向量的數(shù)乘運算性質
問題2:你認為-2×(5a),2a+2b,(3+ )a可分別轉化為什么運算?
-2×(5a)= -10a;2a+2b=2(a+b);(3+ )a =3a+ a。
問題3:一般地,設λ,μ為實數(shù),則λ(μa),(λ+μ) a,λ(a+b)分別等于什么?
λ(μa)=(λμ) a ;(λ+μ) a =λa +μa; λ(a+ b)=λa+λb.
結論:(1)向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。
。2)對于任意向量a、b,以及任意實數(shù)λ、x、y,λ(xa±yb)可轉化為什么運算?λ(xa±yb)=λxa±λyb
[設計意圖] 提出設問:以前一學到運算時,一般離不開運算律。既然向量數(shù)乘運算是一種運算,那么是否有運算律呢?接著引導學生類比實數(shù)的運算律,得出向量數(shù)乘運算律,培養(yǎng)學生的類比、遷移和歸納能力。
例1 計算:
。1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a; 4.探究三:平面向量共線定理
[學情預設] 若直接討論共線的充要條件,會顯得難度較大,為此創(chuàng)設問題4與問題5,以求降低學習難度。
問題4:對于向量a(a≠0)和b,若存在實數(shù)λ,使b=λa,則向量a與b的方向有什么關系?
共線向量(平行向量)
當λ>0時,λa與a方向相同;
當λ<0時,λa與a方向相反;
當λ=0時,λa =0.
問題5:若向量a(a≠0)與b共線,則一定存在實數(shù)λ,使b=λa成立嗎?
[設計意圖]討論平面向量共線定理的“充分性”與“必要性”為接下來的“概括、整合”作準備;同時讓學生感受到成功的喜悅與數(shù)學的“和諧之美”。
結論:[平面向量共線定理]向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.(當a=0時,上述定理成立嗎?)
[學情預設]因為課本在講解共線時,先討論a≠0時的情形,而后規(guī)定零向量與任意向量共線,因此,這里的預設與生成應當是很自然的,但老師要預見到可能出現(xiàn)的情況如學生提問當a=0時的情形。
[設計意圖] 補充說明當a=0時的情形,激發(fā)學生進一步探究所得結論的嚴密性。
變式引申1:若存在實數(shù)λ,使 則A、B、C三點共線。
例2 如圖,已知任意兩個非零向量a,b,試作 =a+b, =a+2b, =a+3b。
你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?
A,B,C共線 o
[學情預設]學生看到這個題目也許思維發(fā)散,不知道如何判斷A、B、C三點之間的位置關系,這樣就無法達到老師的預設與生成的目的,這時教師要引導學生思考,讓學生從廣闊的想象空間中回到預設的方向上來。此外教師還可用多媒體動畫顯示三點位置關系,使學生的思維匯集于三點共線問題上。
[設計意圖] 設計這個題目的目的是,①讓學生在猜想的基礎上加以驗證,減少證明難度;②強調用定理可以證明三點共線問題。
例3 如圖,四邊形ABCD滿足 = ,試判斷四邊形ABCD的形狀。
變式引申2: 若四邊形ABCD滿足 =2 ,試判斷四邊形ABCD的形狀。
變式引申3:若平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M, =a, =b,試用a,b表示向量 、 。
[設計意圖]由淺入深、多層次地變式條件,使學生加深對平面向量共線定理在證明平幾中兩直線平行的運用。
5.課堂變式訓練與講解
。1) 課本 p90: 4.
。2) [高考鏈接]在⊿ABC中, = , = ;若點D滿足 =2 ,則 =( )
。3)如圖,已知圓o內的兩弦AB,CD垂直相于P點,求證:
[設計意圖]按一定梯度,分層設置了3道課堂變式訓練。第(1)題主要考查向量數(shù)乘運算、向量共線定理的簡單運用,第(2)題主要考查向量共線定理在平面幾何中的運用, 第(3)題主要考查學生對向量數(shù)乘運算及向量共線定理的合作探究能力,培養(yǎng)學生空間想象能力與創(chuàng)新思維能力。
6.總結回顧(課標要求)
。1)掌握:λ 的定義及其運算律;
。2)理解:向量共線定理 ( ≠0)
= 向量 與 共線;
。3)理解: 向量共線定理的應用
、. 證明 向量共線;
、. 證明 三點共線: =λ A,B,C三點共線;
、. 證明 兩直線平行
=λ ‖ AB‖CD。
AB與CD不在同一直線上
7.布置作業(yè) 課本 P91 : 10; P92: 5
七、教學效果預測
本節(jié)課主要是教給學生“動手做,動腦想;多訓練,勤鉆研”的研討式學習方法。這樣做,能讓學生增加主動參與的機會,增強了合作意識,教給學生獲取知識的途徑,思考問題的方法;這樣做,還能讓學生“學”有新“思”,“思”有所“得”,“練”有所“獲”; 這樣做,更能讓我們的教與學適應新課程背景下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。
此外,本節(jié)課的設計還注重了多媒體輔助教學的有效作用,在復習引入,定理的探究以及定理的運用等過程中,力求恰到好處地使用多媒體,達到傳統(tǒng)教學與網(wǎng)絡教學優(yōu)勢互補之境界。
高中數(shù)學必修四教案2
教學目標
。1)使學生正確理解組合的意義,正確區(qū)分排列、組合問題;
。2)使學生掌握組合數(shù)的計算公式;
(3)通過學習組合知識,讓學生掌握類比的學習方法,并提高學生分析問題和解決問題的能力;
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;
難點是解組合的應用題.
教學過程設計
。ǎ⿲胄抡n
。ń處熁顒樱┨岢鱿铝兴伎紗栴},打出字幕.
。圩帜唬菀粭l鐵路線上有6個火車站,(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中,哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?
。▽W生活動)討論并回答.
答案提示:(1)排列;(2)組合.
。墼u述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個,并按一定的順序排列,要求出排法的種數(shù),屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組,兩站無順序關系,要求出不同的組數(shù),屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.
設計意圖:組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.
(二)新課講授
。厶岢鰡栴}創(chuàng)設情境]
。ń處熁顒樱┲笇W生帶著問題閱讀課文.
。圩帜唬1.排列的定義是什么?
2.舉例說明一個組合是什么?
3.一個組合與一個排列有何區(qū)別?
(學生活動)閱讀回答.
。ń處熁顒樱⿲φ照n文,逐一評析.
設計意圖:激活學生的思維,使其將所學的知識遷移過渡,并盡快適應新的環(huán)境.
【歸納概括建立新知】
。ń處熁顒樱┏薪由鲜鰡栴}的回答,展示下面知識.
。圩帜唬菽P停簭膫不同元素中取出個元素并成一組,叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.如前面思考題:6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票,是從6個元素中取出2個元素的一個組合.
組合數(shù):從個不同元素中取出個元素的所有組合的.個數(shù),稱之,用符號表示,如從6個元素中取出2個元素的'組合數(shù)為.
。墼u述]區(qū)分一個排列與一個組合的關鍵是:該問題是否與順序有關,當取出元素后,若改變一下順序,就得到一種新的取法,則是排列問題;若改變順序,仍得原來的取法,就是組合問題.
。▽W生活動)傾聽、思索、記錄.
(教師活動)提出思考問題.
。弁队埃菖c的關系如何?
。◣熒顒樱┕餐接懀髲膫不同元素中取出個元素的排列數(shù),可分為以下兩步:
第1步,先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)為;
第2步,求每一個組合中個元素的全排列數(shù)為.
根據(jù)分步計數(shù)原理,得到
。圩帜唬莨1:
公式2:
(學生活動)驗算,即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.
設計意圖:本著以認識概念為起點,以問題為主線,以培養(yǎng)能力為核心的宗旨,逐步展示知識的形成過程,使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.
。ㄈ┬〗Y
。◣熒顒樱┕餐〗Y.
本節(jié)主要內容有
1.組合概念.
2.組合數(shù)計算的兩個公式.
。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1.課本作業(yè):習題10 3第1(1)、(4),3題.
2.思考題:某學習小組有8個同學,從男生中選2人,女生中選1人參加數(shù)學、物理、化學三種學科競賽,要求每科均有1人參加,共有180種不同的選法,那么該小組中,男、女同學各有多少人?
3.研究性題:
在的邊上除頂點外有5個點,在邊上有4個點,由這些點(包括)能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?
(五)課后點評
在學習了排列知識的基礎上,本節(jié)課引進了組合概念,并推導出組合數(shù)公式,同時調控進行訓練,從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.
作業(yè)參考答案
2.解;設有男同學人,則有女同學人,依題意有,由此解得或或2.即男同學有5人或6人,女同學相應為3人或2人.
3.能組成(注意不能用點為頂點)個四邊形,個三角形.
探究活動
同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,那么四張不同的分配萬式可有多少種?
解設四人分別為甲、乙、丙、丁,可從多種角度來解.
解法一可將拿賀卡的情況,按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類,即:
甲拿乙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.
甲拿丙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.
甲拿丁制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.
由加法原理得,賀卡分配方法有3+3+3=9種.
解法二可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.
正向思考,即從滿足題設條件出發(fā),分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張,有種取法,剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張,也有種,最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡,其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據(jù)乘法原理,賀卡的分配方法有(種).
逆向思考,即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為,其中只有1人取自己制作的賀卡,其中有2人取自己制作的賀卡,其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為1.故符合題設要求的取法共有(種).
高中數(shù)學必修四教案3
教學目標:
1.結合實際問題情景,理解分層抽樣的必要性和重要性;
2.學會用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;
3.并對簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣方法進行比較,揭示其相互關系.
教學重點:
通過實例理解分層抽樣的方法.
教學難點:
分層抽樣的步驟.
教學過程:
一、問題情境
1.復習簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念、特征以及適用范圍.
2.實例:某校高一、高二和高三年級分別有學生名,為了了解全校學生的視力情況,從中抽取容量為的樣本,怎樣抽取較為合理?
二、學生活動
能否用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣進行抽樣,為什么?
指出由于不同年級的學生視力狀況有一定的差異,用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣進行抽樣不能準確反映客觀實際,在抽樣時不僅要使每個個體被抽到的機會相等,還要注意總體中個體的層次性.
由于樣本的容量與總體的個體數(shù)的比為100∶2500=1∶25,所以在各年級抽取的個體數(shù)依次是x,x,x,即40,32,28.
三、建構數(shù)學
1.分層抽樣:當已知總體由差異明顯的幾部分組成時,為了使樣本更客觀地反映總體的情況,常將總體按不同的特點分成層次比較分明的'幾部分,然后按各部分在總體中所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣,其中所分成的各部分叫“層”.
說明:①分層抽樣時,由于各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體數(shù)的比,每一個個體被抽到的可能性都是相等的;
、谟捎诜謱映闃映浞掷昧宋覀兯莆盏男畔,使樣本具有較好的代表性,而且在各層抽樣時可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應用.
2.三種抽樣方法對照表:
類別
共同點
各自特點
相互聯(lián)系
適用范圍
簡單隨機抽樣
抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的
從總體中逐個抽取
總體中的個體數(shù)較少
系統(tǒng)抽樣
將總體均分成幾個部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取
在第一部分抽樣時采用簡單隨機抽樣
總體中的個體數(shù)較多
分層抽樣
將總體分成幾層,分層進行抽取
各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)
總體由差異明顯的幾部分組成
3.分層抽樣的步驟:
。1)分層:將總體按某種特征分成若干部分.
。2)確定比例:計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比.
(3)確定各層應抽取的樣本容量.
。4)在每一層進行抽樣(各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取),綜合每層抽樣,組成樣本.
四、數(shù)學運用
1.例題.
例1(1)分層抽樣中,在每一層進行抽樣可用xxx.
。2)①教育局督學組到學校檢查工作,臨時在每個班各抽調2人參加座談;
、谀嘲嗥谥锌荚囉15人在85分以上,40人在60-84分,1人不及格.現(xiàn)欲從中抽出8人研討進一步改進教和學;
、勰嘲嘣┚蹠,要產生兩名“幸運者”.
對這三件事,合適的抽樣方法為()
A.分層抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣
B.系統(tǒng)抽樣,系統(tǒng)抽樣,簡單隨機抽樣
C.分層抽樣,簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣
D.系統(tǒng)抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣
例2某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調查,參加調查的總人數(shù)為12000人,其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表中所示:
很喜愛
喜愛
一般
不喜愛
2435
4567
3926
1072
電視臺為進一步了解觀眾的'具體想法和意見,打算從中抽取60人進行更為詳細的調查,應怎樣進行抽樣?
解:抽取人數(shù)與總的比是60∶12000=1∶200,則各層抽取的人數(shù)依次是12.175,22.835,19.63,5.36,取近似值得各層人數(shù)分別是12,23,20,5.
然后在各層用簡單隨機抽樣方法抽。
答用分層抽樣的方法抽取,抽取“很喜愛”、“喜愛”、“一般”、“不喜愛”的人
數(shù)分別為12,23,20,5.
說明:各層的抽取數(shù)之和應等于樣本容量,對于不能取整數(shù)的情況,取其近似值.
。3)某學校有160名教職工,其中教師120名,行政人員16名,后勤人員24名.為了了解教職工對學校在校務公開方面的某意見,擬抽取一個容量為20的樣本.
分析:(1)總體容量較小,用抽簽法或隨機數(shù)表法都很方便.
。2)總體容量較大,用抽簽法或隨機數(shù)表法都比較麻煩,由于人員沒有明顯差異,且剛好32排,每排人數(shù)相同,可用系統(tǒng)抽樣.
。3)由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大,所以應采用分層抽樣方法.
五、要點歸納與方法小結
本節(jié)課學習了以下內容:
1.分層抽樣的概念與特征;
2.三種抽樣方法相互之間的區(qū)別與聯(lián)系.
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