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三角函數(shù)恒等變換教案(1)
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
一、教學(xué)目標(biāo)
理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式大學(xué)網(wǎng)的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用. 二、教學(xué)重、難點
1. 教學(xué)重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運用； 2. 教學(xué)難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用. 三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：研討式教學(xué) 四、教學(xué)設(shè)想：
（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：
cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．
這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？
提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對我們解決今天的問題有幫助嗎？
讓學(xué)生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.
??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?
?2???2??2???2?
?sin?cos??cos?sin?．
sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?
讓
學(xué)生觀察認(rèn)識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動手）
tan??????
sin?????sin?cos??cos?sin?
． ?
cos???cos?cos??sin?sin?
通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同時除以cos?cos?，得到tan??????注意：????
?
2
?k?,??
tan??tan?
．
1?tan?tan?
?
2
?k?,??
?
2
?k?(k?z)
以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？
tan??????tan???????????
tan??tan????tan??tan?
?
1?tan?tan??1?tan?tan?
?k?,??
注意：????
?
2
?k?,??
?
2
?
2
?k?(k?z)．
（二）例題講解
例1、利用和（差）角公式計算下列各式的值：
27iss2o4c2s7onc24is（1）、n
?
s2oc07socn02ni07sis；（2）、0
?
；（3）、
1n51a?t
1n51a?t
．
解：分析：解此類題首先要學(xué)會觀察，看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.
n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、
???
??
??
??
?
?
??
1
； 2
27socn07n02iisssoc020709soc0?（2）、0；
?
（3）、
151na?tn54at51nat151na?t151n54at
?
??1
5
?n4a5t51?
0n6at?335
??
．
cos(???)?，求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?，
例3
xx
解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？
1?
x
?x?2cosxx???
sin30cosx?cos30sinx???30?x??
思考：?正、余弦分別等于和
1
2
的. 小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用. 作業(yè)：
32??1???
1、 已知tan??????,tan?求的值．（） ???,tan??????
5
?
4?
4
?
4?
22
2、 已知0???
值．
?
4
?????
3????3?3??5
求sin?????的,cos?????,sin?????，
4?4?5?4?13
二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教學(xué)目標(biāo)
以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用. 二、教學(xué)重、難點
教學(xué)重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；
教學(xué)難點：二倍角的理解及其靈活運用. 三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：研討式教學(xué) 四、教學(xué)設(shè)想：
（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，
sin??????sin?cos??cos?sin?；
cos??????cos?cos??sin?sin?；
tan??????
tan??tan?
．
1?tan?tan?
我們由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（學(xué)生自己動手，把上述公式中?看成?即可）， （二）公式推導(dǎo)：
sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；
cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；
思考：把上述關(guān)于cos2?的式子能否變成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；
cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．
tan2??tan??????
tan??tan?2tan?
?．
1?tan?tan?1?tan2?
注意：2??
?
2
?k?,??
?
2
?k? ?k?z?
（三）例題講解 例4、已知sin2??
?
?
4
2
5??
,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342
解：由???,得?2???．
2
512
??又因為sin2?
?,cos2???． 1313?
于是sin4??2sin2?cos2??2?
5?12?120
； ??????
13?13?169
2
120
sin4?120?5?119
；tan4??． ???cos4??1?2sin22??1?2????
cos4?119?13?169
169
?
例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??
2tan?12
?tan??6tan??1?0
，由此得2
1?tan?3
13
解得tan???2
tan???2
（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用.
例6、試以cos?表示sin2,cos2,tan2
2
2
???
2
．
?1和cos??1?2sin2
解：我們可以通過二倍角cos??2cos2因為cos??1?2sin2因為cos??2cos2
?
2
?
2
?
2
來做此題．
?
2
，可以得到sin2
?
2
?
1?cos?
； 21?cos?
． 2
?
2
?1，可以得到cos2
?
2
?
又因為tan2
?
?1?cos?． 1?cos?cos2
2
sin2
?
思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？
代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點． 例7、求證：
sin??????sin??????（１）、sin?cos???； ??2
1
（２）、sin??sin??2sin
???
2
cos
???
2
．
證明：（１）因為sin?????和sin?????是我們所學(xué)習(xí)過的知識，因此我們從等式右邊著手．
sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．
兩式相加得2sin?cos??sin??????sin?????；
sin??????sin??????即sin?cos???； ??2
1
（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；設(shè)?????,?????，
那么??
???
2
,??
???
2
．
???
2cos
把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin
???
2
．
思考：在例２證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？
證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個關(guān)于積化和差、和差化積的公式． 例8
、求函數(shù)y?sinxx的周期，最大值和最小值．
解：y?sinx
x這種形式我們在前面見過，
?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????， ?2?3????
所以，所求的周期T?
2?
?
?2?，最大值為２，最小值為?2．
點評：例３是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù)
y?Asin??x???的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式
中的作用．
小結(jié)：此節(jié)雖只安排一到兩個課時的時間，但也是非常重要的內(nèi)容，我們要對變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識，學(xué)會靈活運用． 總結(jié)： 1．
公式的變形
（1） 升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α
（3） 正切公式變形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 萬能公式（用tanα表示其他三角函數(shù)值）
2．
插入輔助角公式
3．
熟悉形式的變形（如何變形）
1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1
＋tanα
1＋tanα1－tanα
π
若A、B是銳角，A+B＝ ，則（1＋tanA）(1+tanB)=2
4
4． 在三角形中的結(jié)論（如何證明） A+B+Cπ
若：A＋B＋C=π =
22tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC ABBCCA
tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222
9．求值問題
（1）已知角求值題 如：sin555° （2）已知值求值問題 常用拼角、湊角
π3π35
如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝
45413 π3ππ
又
34
2）已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α－β)的值。
55（3）已知值求角問題
必須分兩步：1）求這個角的某一三角函數(shù)值。2）確定這個角的范圍。 π11
如：．已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是銳角，求證：α＋2β＝
7341.（2010全國卷1理）(2)記cos(?80?)?k,那么tan100??
2. 已知0?x?
?
2
，化簡：
x?
lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).
22
解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 3.（2010天津文）（17）（本小題滿分12分）
在?ABC中，
ACcosB
?。 ABcosC
（Ⅰ）證明B=C：
1??
（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。
3
?
3?
【解析】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分12分.
（Ⅰ）證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinBcosB
=.于是sinCcosC
sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因為???B?C??，從而B-C=0. 所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=.
又0
= 從而
sin4B=2sin2Bcos2B=
?
?
. 3
13
7，cos4B=cos22B?sin22B??.
99
所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin
3
3
?
3
?
4.（2010湖北理） 16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?
3
3
??
1
214
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
5.（2009江蘇，15）設(shè)向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a與b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;
（3）若tan?tan??16，求證：a∥b.
分析 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運算和證明得基本能
力
。
6.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=. （I）求sinA的值；
(II)設(shè)
?ABC的面積.
本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運
1
3
算求解能力。
?B，（Ⅰ）由C?A?，且C?A??∴A??，
∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?
0，∴sinA?
233
?
2?4B2?BB(cos)422
C
B2
，
ACBC
?（Ⅱ）如圖，由正弦定理得
sinBsinA
A B
∴BC?
ACsinA
?
sinB
3
?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?
cosAsinB
?
1
??
33333
1
2
12
?3
∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.（2009湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). （Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。 解：（Ⅰ） 因為a//b，所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?，故tan??.
（Ⅱ）由|a|?|b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.
從而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，
于是sin(2??)?4
1
4
?
??9?又由0????知，?2???，
4445??7?
，或2???. 4444
3??
因此??，或??.
42
所以2??
?
?
8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，
AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：
??
(II) 求sin?2A???的值
?
4?
本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。滿分12分。
（Ⅰ）解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2
sinA
5
ABBC
?
sinCsinA
AB2?AC2?BD225
?
2AB?AC5
（Ⅱ）解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=于是 sinA=從而
?cos2A?
5
sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3
55
4
4
4
所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=
?
2
10
??
???
9.（2007安徽）已知0???，?為f(x)?cos?2x???的最小正周期，
?
2cos2??sin2(???)??1??
·b?m．求2)，且a b?(cos?，的值． a??tan?????，?1?，
cos??sin?4????
π?
解：因為?為f(x)?cos?2x???的最小正周期，故??π．
?
8?
??·b?m，又a因a·b?cos?·tan??????2．
4
?
?
??
故cos?·tan??????m?2．
4
?
?1
1
由于0???，所以
π4
2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)
?
cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?
?2cos?
1?tan?π??
?2cos?·tan?????2(2?m)
1?tan?4??
m??,n??cosA,sinA?
?
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