精品教案及配套反思--反證法

4.4反證法 陳建華 【知識目標】 1、了解反證法的含義. 2、了解反證法的基本步驟. 3、會利用反證法證明簡單命題． 4、了解定理“在同一平面內，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交”“在同一平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”. 【能力目標】1、通過反證法的教學讓學生體驗、感受正難則反的思維策略  2、反證法需要學生有一定的分析能力和邏輯思維能力，通過反證法教學培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和邏輯思維能力 【情感目標】通過路邊苦李等實際問題讓學生感受數(shù)學就在身邊，學數(shù)學能解決生活中的問題 【教學重點和難點】 重點：反證法的含義和步驟. 難點：（1）課本“合作學習”要求用兩種方法完成平行線的傳遞性的證明，有較高難度；   （2）如何尋找至多，至少等問題的反面是本節(jié)課第二個難點 【教學過程】 一、情境導入    故事引入“反證法”：中國古代有一個叫《路邊苦李》的故事:王戎7歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動.有人問王戎為什么?王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下,果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的?他運用了怎樣的推理方法? 提出假設:李子不苦，即李子是甜的 推理論證:長在大路邊的李子會被過路人摘去解渴,樹上的李子不可能這么多 得出矛盾：這與事實矛盾 結論成立：假設是錯誤的，李子是苦的 像這樣的證法就是本節(jié)課要學習的《反證法》（板書課題）   反證法是數(shù)學中常用的一種方法．人們在探求某一問題的解決方法而正面求解又比較困難時，常常采用從反面考慮的策略，往往能達到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反證法呢？ 二、探究新知 （一）引例感知 已知：如圖，直線a,b被直線c所截，∠1 ≠ ∠2 求證：a∥b 提出假設: 證明：假設結論不成立，則a∥b 推理論證: ∴∠1=∠2 (兩直線平行,同位角相等) 得出矛盾：  這與已知的∠1≠∠2矛盾 結論成立：  ∴假設不成立，∴a∥b （二）歸納定義 在證明一個命題時,人們有時先假設命題不成立,從這樣的假設出發(fā),經過推理得出和已知條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾,從而得出假設命題不成立是錯誤的,即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法. 用反證法證明命題實際上是這樣一個思維過程：我們假定“結論不成立”，結論一不成立就會出毛病，這個毛病是通過與已知條件矛盾，與公理或定理矛盾的方法暴露出來的．這個毛病是怎么造成的呢？推理沒有錯誤，已知條件，公理或定理沒有錯誤，這樣一來，唯一有錯誤的地方就是一開始的假定．既然“結論不成立”有錯誤，就肯定結論必然成立了． 你能說出下列結論的反面嗎? 1.a⊥b。  2. d是正數(shù)  3. a≥0 4. a∥b  5. l3與l2相交. （三）步驟歸納 1、求證:在同一平面內,如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交. 已知: 直線l1,l2,l3在同一平面內,且l1∥l2,l3與l1相交于點P. 求證: l3與l2相交. 證明: 假設____________,即_________. ∵_________（已知）, ∴過直線l2外一點P有兩條直線和l2平行, 這與“_______________________ _____________”矛盾. ∴假設不成立,即求證的命題正確. ∴l(xiāng)3與l2相交. 教師簡單引導學生小結：證明兩直線相交的又一判定方法. 2、根據上述填空，請同學們歸納一下用反證法證題的步驟．（教師板書步驟） 生：①提出假設: 假定結論不成立（即結論的反面成立）；推理論證: ②從假設出發(fā)，結合已知條件，經過推理論證，③得出矛盾：推出與已知條件或定義、定理、公理相矛盾； ④結論成立：由矛盾判定假設不正確，肯定命題的結論成立．明確用反證法證題的基本思路及步驟． （四）學以致用，完善新知 1、課內練習1 明確在運用反證法的過程，往往要仔細分析結論的反面，特別要注意語句的轉換及表達． 2、合作學習 求證:在同一平面內,如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行. （1）你首選的是哪一種方法？ （2）如果你選擇反證法，先怎樣假設？結果和什么產生矛盾？ （3）能不用反證法嗎？你準備怎樣證明？ 要求按問題解決的四個步驟進行:理解題意(畫出圖形,寫出已知求證);制定計劃(選擇證明方法,找出證明思路);執(zhí)行計劃(寫出證明過程);回顧(比較兩種證明方法的特點) 教師在例后要引導學生比較體會反證法的優(yōu)點：當正面證明比較繁雜或較難證明時，用反證法證明是一種證明的思路， 本題的結論平行傳遞性是判定兩直線平行的又一判定定理.（幾何語言表示） 三、實踐應用，知識遷移 1、用反證法證明:在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60°. 已知:  ∠A，∠B，∠C是△ABC的內角. 求證:  ∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°. 證明:  假設所求證的結論不成立，即 ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° 則∠A+∠B+∠C < 180°. 這與________________________________相矛盾. 所以假設不成立，所求證的結論成立. 2、如圖，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是銳角 證明：假設結論不成立,則∠B是_____或______. 當∠B是_____時，則_____________，這與____________________________矛盾 當∠B是_____時，則______________，這與____________________________矛盾 所以假設不成立∴∠B一定是銳角. 3證明命題:三角形中至多有一個角是鈍角. 分析：“至多一個角是鈍角”是指一個鈍角或沒有一個鈍角，它的反面是兩個鈍角或三個鈍角，故指“至少兩個角是鈍角” 注意：用反證法證題時, （1）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏； （2）推理過程中要充分使用已知條件，推理過程必須完整，否則推不出矛盾 四、總結回顧 1、小結： （1）反證法的概念; （2）反證法的一般步驟 （3）兩個定理 2、反證法的應用：在直接法無法證明或很難證明的情況選用反證法． 五、課后作業(yè) 1.配套作業(yè)本A(1)組必做。 2.書本作業(yè)題． 3.課外活動：收集反證法在生活中應用的例子，在班上交流。 【板書設計】 屏幕 4.4反證法 1、反證法的定義 2、步驟： 合作學習 ①提出假設 ②推理論證 ③得出矛盾   學生練習 ④結論成立  3、定理 配套反思 如何尋找至多，至少等問題的反面，如何在證明過程中進行歸謬都是學生感到困難的地方，這取決于學生的分析能力、邏輯思維能力和對已學定理的熟悉程度，對學生的能力是個挑戰(zhàn)。 解決策略： 1、尋找問題反面時要引導學生學會分析“至多一個角是鈍角”是指一個鈍角或沒有一個鈍角，它的反面是兩個鈍角或三個鈍角，故指“至少兩個角是鈍角” 至少有一個角大于或等于60的反面是一個角都沒有大于或等于60。 2、在具體的示范中教會學生如何去歸謬 3、對于學生易出現(xiàn)的紕漏教師要給予點撥和引導。如用反證法證題時（1）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏； （2）推理過程中要充分使用已知條件，推理過程必須完整，否則推不出矛盾 配套練習： 1、用反證法證明:在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60°. 已知:  ∠A，∠B，∠C是△ABC的內角. 求證:  ∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°. 證明:  假設所求證的結論不成立，即            ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60°            則∠A+∠B+∠C < 180°. 這與________________________________相矛盾. 所以假設不成立，所求證的結論成立. 2、如圖，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是銳角 證明：假設結論不成立,則∠B是_____或______. 當∠B是_____時，則_____________，這與____________________________矛盾 當∠B是_____時，則______________，這與____________________________矛盾 所以假設不成立∴∠B一定是銳角. 3證明命題:三角形中至多有一個角是鈍角. 分析：“至多一個角是鈍角”是指一個鈍角或沒有一個鈍角，它的反面是兩個鈍角或三個鈍角，故指“至少兩個角是鈍角” 證明略

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