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2009屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案-數(shù)列
2009屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案——數(shù)列 一、本章知識結(jié)構(gòu)： 二、重點(diǎn)知識回顧 １．?dāng)?shù)列的概念及表示方法 �。ǎ保┒x：按照一定順序排列著的一列數(shù)． （２）表示方法：列表法、解析法（通項(xiàng)公式法和遞推公式法）、圖象法． �。ǎ常┓诸悾喊错�(xiàng)數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列． �。ǎ矗� 與 的關(guān)系： ． 2．等差數(shù)列和等比數(shù)列的比較 （１）定義：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)的數(shù)列叫等差數(shù)列；從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為0）的數(shù)列叫做等比數(shù)列． �。ǎ玻┻f推公式： ． （３）通項(xiàng)公式： ． �。ǎ矗┬再|(zhì) 等差數(shù)列的主要性質(zhì)： ①單調(diào)性： 時為遞增數(shù)列， 時為遞減數(shù)列， 時為常數(shù)列． �、谌� ，則 ．特別地，當(dāng) 時，有 ． ③ ． �、� 成等差數(shù)列． 等比數(shù)列的主要性質(zhì)： ①單調(diào)性：當(dāng) 或 時，為遞增數(shù)列；當(dāng) ，或 時，為遞減數(shù)列；當(dāng) 時，為擺動數(shù)列；當(dāng) 時，為常數(shù)列． �、谌� ，則 ．特別地，若 ，則 ． ③ ． �、� ，…，當(dāng) 時為等比數(shù)列；當(dāng) 時，若 為偶數(shù)，不是等比數(shù)列．若 為奇數(shù)，是公比為 的等比數(shù)列． 三、考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1. （2008深圳模擬）已知數(shù)列 （1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列 解：（1）當(dāng) ；、 當(dāng) ， 、 （2）令 當(dāng) ； 當(dāng) 綜上， 點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)與數(shù)列的通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，特別要注意n＝１時情況，在解題時經(jīng)常會忘記。第二問要分情況討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想． 例２、（2008廣東雙合中學(xué)）已知等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且 ， . 數(shù)列 是等比數(shù)列， （其中 ）. （I）求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；（II）記 . 解：（I）公差為d， 則 . 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ， . （II） 作差： . 點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識，第二問，求前n項(xiàng)和的解法，要抓住它的結(jié)特征，一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列之積，乘以２后變成另外的一個式子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。 考點(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例3.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第 行（ ）從左向右的第3個數(shù)為 解：前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個，即 個，因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第 ＋3個，即為 ． 點(diǎn)評：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。 例4.（2008深圳模擬）圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運(yùn)會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第 個圖形包含 個“福娃迎迎”，則 ； ＿＿＿＿ 解：第1個圖個數(shù)：1 第2個圖個數(shù)：1+3+1 第3個圖個數(shù)：1+3+5+3+1 第4個圖個數(shù)：1+3+5+7+5+3+1 第5個圖個數(shù)：1+3+5+7+9+7+5+3+1= ， 所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６ 點(diǎn)評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二問是一個遞推關(guān)系式，有時候求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以轉(zhuǎn)化遞推公式來求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。 考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系 例5.（２００９屆高三湖南益陽）已知等比數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公比 滿足 。又已知 ， ， 成等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列 的通項(xiàng) （2）令 ，求證：對于任意 ，都有 （1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）證明：∵ ， ∴ 點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（２）問，采用裂項(xiàng)相消法法，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式。 例６、(2008遼寧理) 在數(shù)列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列（ ） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測 ， 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； （Ⅱ）證明： ． 解：（Ⅰ）由條件得 由此可得 ． 猜測 ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即 ， 那么當(dāng)n=k+1時， ． 所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立． 由①②，可知 對一切正整數(shù)都成立． （Ⅱ） ． n≥2時，由（Ⅰ）知 ． 故 綜上，原不等式成立． 點(diǎn)評：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力． 例７. （2008安徽理）設(shè)數(shù)列 滿足 為實(shí)數(shù) （Ⅰ）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ； （Ⅱ）設(shè) ，證明： ; （Ⅲ）設(shè) ，證明： 解： (1) 必要性 ： ， 又 ，即 充分性 ：設(shè) ，對 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng) 時， .假設(shè) 則 ，且 ，由數(shù)學(xué)歸納法知 對所有 成立 (2) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立 當(dāng) 時， ,由（1）知 ，所以 且 (3) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立 當(dāng) 時，由（2）知 點(diǎn)評：本題是數(shù)列、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意，加強(qiáng)訓(xùn)練。 考點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、概率等的聯(lián)系 例題８.. (2008福建理) 已知函數(shù) . （Ⅰ）設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=3.若點(diǎn) (n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上； �。á颍┣蠛瘮�(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值. (Ⅰ)證明：因?yàn)?所以 ′(x)=x2+2x, 由點(diǎn) 在函數(shù)y=f′(x)的圖象上, 又 所以 所以 ,又因?yàn)?′(n)=n2+2n,所以 , 故點(diǎn) 也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上. (Ⅱ)解: , 由 得 . 當(dāng)x變化時, ﹑ 的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 注意到 ,從而 ①當(dāng) ,此時 無極小值； ②當(dāng) 的極小值為 ,此時 無極大值； ③當(dāng) 既無極大值又無極小值. 點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力. 例９ 、（２００７江西理）將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù) 列的概率為（ �。� �。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個；（2）公差為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的有4個，共有18個， 成等差數(shù)列的概率為，選B 點(diǎn)評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重復(fù)。 考點(diǎn)五：數(shù)列與程序框圖的聯(lián)系 例１０、（２００９廣州天河區(qū)模擬）根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為 ； （Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ； （Ⅱ）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數(shù)列{yn}； 的一個通項(xiàng)公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論; （Ⅲ）求 ． 解：（Ⅰ）由框圖，知數(shù)列 ∴ （Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴ ∴ ∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。 ∴ +1=3·3n－1=3n ∴ =3n－1（ ） （Ⅲ）zn= =1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 =2× = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴ . 點(diǎn)評：程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視。 四、方法總結(jié)與2009年高考預(yù)測 （一）方法總結(jié) 1. 求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。 2. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式。 3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個知識點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。 （二）2009年高考預(yù)測 1. 數(shù)列中 與 的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，要切實(shí)注意 與 的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。 2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求. 3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。 4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和. 5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)。今后在這方面還會體現(xiàn)的【屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案-數(shù)列】相關(guān)文章：
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