大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，大家都背過不少知識(shí)點(diǎn)，肯定對(duì)知識(shí)點(diǎn)非常熟悉吧！知識(shí)點(diǎn)就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。掌握知識(shí)點(diǎn)有助于大家更好的學(xué)習(xí)。以下是小編幫大家整理的大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎大家分享。
大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1
1、數(shù)列極限
定義：設(shè)|Xn|為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，
|Xn-a|<ε
都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列|Xn|的極限，或稱數(shù)列|Xn|收斂于a。記為limXn=a或Xn→a（n→∞）
2、確界原理
任一有上界的非空實(shí)數(shù)集必有上確界(為實(shí)數(shù))。對(duì)偶地，任一有下界的非空實(shí)數(shù)集必有下確界(為實(shí)數(shù))。在擴(kuò)張的實(shí)數(shù)系R中，認(rèn)為沒有上(下)界的非空實(shí)數(shù)集的上(下)確界為+∞(-∞)。這樣，在R中任何非空集都有上、下確界。
3、柯西收斂準(zhǔn)則
定理敘述：
數(shù)列{xn}有極限的充要條件是：對(duì)任意給定的ε>0，有一正整數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，有|xn-xm|<ε成立。
將柯西收斂原理推廣到函數(shù)極限中則有：
函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處有極限的充要條件是：對(duì)任意給定的ε>0，有Z屬于實(shí)數(shù)，當(dāng)x,y>Z時(shí)，有|f(x)-f(y)|<ε成立。
4、函數(shù)的連續(xù)性
如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處及其附近有定義，而且函數(shù)在x=a處的極限值和f(a)相等，就說函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)。
函數(shù)若在區(qū)間(m,n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，就說函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)連續(xù)。
函數(shù)若在區(qū)間(m,n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，而且在x=m點(diǎn)上右極限等于f(m)，在x=n點(diǎn)上左極限等于f(n)，就說函數(shù)在區(qū)間[m,n]內(nèi)連續(xù)。
5、導(dǎo)數(shù)的定義
一般地，假設(shè)一元函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的附近(x0－a，x0＋a)內(nèi)有定義;
當(dāng)自變量的增量Δx＝x－x0→0時(shí)函數(shù)增量Δy＝f（x）－f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在x0點(diǎn)的（或變化率).
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
若函數(shù)f在區(qū)間I的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，便得到一個(gè)以I為定義域的新函數(shù)，記作f(x)或y，稱之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)。
函數(shù)y＝f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0［x0，f（x0）］點(diǎn)的切線斜率
6、微分的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)在x的領(lǐng)域內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△X→０）（其實(shí)我覺得導(dǎo)數(shù)和微分就是一個(gè)東西，不用太區(qū)分開了的）7拉格朗日中值定理
如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導(dǎo)，[a,b]上連續(xù)，則必有一ξ∈[a,b]使得
f(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f(x+θ△x)*△x(0<θ<1)
7、泰勒公式
若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于（x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：
f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)^2,+f(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間
8、不定積分
設(shè)F（x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)C。
不定積分
其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。
由定義可知：
求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的`所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)
原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。
9、實(shí)數(shù)的完備性
�。�1）確界原理（上面有）
�。�2）單調(diào)有界定理若數(shù)列{an}遞增（遞減）有上界（下界），則數(shù)列{an}收斂，即單調(diào)有界函數(shù)必有極限。
�。�3）區(qū)間套定理有無窮個(gè)閉區(qū)間，第二個(gè)閉區(qū)間被包含在第一個(gè)區(qū)間內(nèi)部，第三個(gè)被包含在第二個(gè)內(nèi)部，以此類推（后一個(gè)線段會(huì)被包含在前一個(gè)線段里面），這些區(qū)間的長度組成一個(gè)無窮數(shù)列，如果數(shù)列的極限趨近于0（即這些線段的長度最終會(huì)趨近于0），則這些區(qū)間的左端點(diǎn)最終會(huì)趨近于右端點(diǎn)，即左右端點(diǎn)收斂于數(shù)軸上唯一一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)是此這些區(qū)間的唯一公共點(diǎn)。（開區(qū)間同理）
（4）有限覆蓋定理設(shè)H為閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋[a,b].開覆蓋的定義：設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，H為開區(qū)間的集合，（即H中每一個(gè)元素都是形如(a,b)的開區(qū)間).若S中的任何一點(diǎn)都含在至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi)，則稱H為S的一個(gè)開覆蓋，或簡稱H覆蓋S.
若H中的開區(qū)間的個(gè)數(shù)是有限（無限）的，那么就稱H為S的一個(gè)有限（無限）覆蓋.
�。�5）聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理(也稱為維爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理)經(jīng)典形式:實(shí)軸上的任一有界無限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn).（聚點(diǎn)：設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集,e為定點(diǎn)(它可以屬于S,也可以不屬于S),若e的任何ε鄰域內(nèi)都含有S中的無窮多個(gè)點(diǎn),則稱e為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).）
�。�6）柯西收斂定理（上面有）
大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2
大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式
1.y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
大學(xué)數(shù)學(xué)常用推導(dǎo)公式
在推導(dǎo)的過程中有這幾個(gè)常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x)看作整個(gè)變量，而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a^⊿x-1通過換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當(dāng)⊿x→0時(shí)，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個(gè)結(jié)果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因?yàn)楫?dāng)⊿x→0時(shí)，⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x。
這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結(jié)果
大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)3
定積分
關(guān)于定積分的定義及性質(zhì)，這里要求同學(xué)們一定要理解近似、求和還有取極限這幾個(gè)步驟。與此同時(shí)還要求同學(xué)們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對(duì)定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內(nèi)容。因此希望這一部分能引起同學(xué)們的一定的重視。關(guān)于定積分的性子這一塊，同學(xué)們關(guān)鍵主要在于理解。定積分中的區(qū)間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個(gè)是同學(xué)要掌握的。而對(duì)于微積分基本定理這一塊的知識(shí)點(diǎn)是非常重要的。這里面有一個(gè)新的函數(shù)叫做變上限積分函數(shù)。關(guān)于變上限積分函數(shù)的兩個(gè)性子是我們一定要掌握的。關(guān)于切線與法線，以及單調(diào)性、極值;凹凸性的應(yīng)用與變上限積分函數(shù)是可以相關(guān)聯(lián)的。有了變上限積分函數(shù)的定義后，我們就要注意變限積分求導(dǎo)問題了，有關(guān)變上限積分的求導(dǎo)，希望同學(xué)們能夠會(huì)證明，以前考研真題中也出現(xiàn)過此類問題。所以，應(yīng)當(dāng)值得我們重視。
反常積分
對(duì)反常積分這一塊內(nèi)容，要求同學(xué)們了解反常積分的基本定義，會(huì)利用定積分來判斷其收斂性，會(huì)計(jì)算反常積分就夠了。而關(guān)于反常積分的計(jì)算，同學(xué)們就當(dāng)作定積分來求就可以了。
定積分的應(yīng)用
最后，就是有關(guān)定積分的應(yīng)用部分了。這一塊應(yīng)用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應(yīng)用，對(duì)于數(shù)一和數(shù)二的同學(xué)還要求掌握物理上面的應(yīng)用。而這里，同學(xué)們一定要知道數(shù)學(xué)一、二、三的區(qū)別。數(shù)學(xué)三的同學(xué)要掌握用定積分求面積及簡單的體積。而對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二也要掌握物理方面的應(yīng)用，這里主要要求數(shù)一數(shù)二的同學(xué)掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質(zhì)心問題。而這里最要的是同學(xué)們一定要掌握微元法這種思想方法。
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